Unde staționare – probleme și soluții
1. Sfoara de 3 m este legată la un capăt, iar celălalt capăt este conectat la vibrator. Când vibratorul este acționat prin vibrații, sfoara formează o undă staționară , așa cum se arată în figura de mai jos.
Determinați poziția celui de-al 5-lea antinod față de capătul fix.
soluţie:
Distanța dintre două noduri = 3 metri / 5 = 3/5 metri.
Distanța dintre primul nod și capătul fix = 3/5 metri
Distanța dintre al doilea nod și capătul fix = 2 (3/5 metri) = 6/5 metri
Distanța dintre al treilea nod și capătul fix = 3 (3/5 metri) = 9/5 metri
Distanța dintre al patrulea nod și capătul fix = 4 (3/5 metri) = 12/5 metri
Distanța dintre nod și antinod = 1/2 (3/5 metri) = 3/10 metri.
Distanța dintre al cincilea antinod și capătul fix = distanța dintre al patrulea nod și capătul fix + distanța dintre nod și antinod = 12/5 + 3/10 = 24/10 + 3/10 = 27/10 = 2.7 metri.
2. Așa cum se arată în figura de mai jos, un capăt este conectat la vibrator, iar celălalt capăt este fix. Dacă lungimea coardei este de 1.5 metri, găsiți distanța dintre al patrulea nod și vibrator.
soluţie:
Distanța dintre două noduri = 1.5 metri / 11 = 1.5 / 11 metri.
Distanța dintre primul nod și vibrator = 1.5 / 11 metri
Distanța dintre al doilea nod și vibrator = 2 (1.5 / 11 metri) = 3/11 metri
Distanța dintre al treilea nod și vibrator = 3 (1.5 / 11 metri) = 4.5 / 11 metri
Distanța dintre al patrulea nod și vibrator = 4 (1.5 / 11 metri) = 6/11 metri = 0.54 metri
3. O coardă are ambele capete fixate, producând un ton fundamental cu o frecvență de 420 Hz. Determinați al treilea supraton.
A. 840 Hz
B. 1260 Hz
C. 1680 Hz
D. 2940 Hz
Cunoscut:
Frecvența fundamentală (f1 ) = 420 Hz
Ambele capete sunt menținute fixe.
Căutat: al treilea supraton
soluţie:
Primul supraton (f² ) = 2 f¹ = 2 (420 Hz) = 840 Hz
Al doilea supraton (f3 ) = 3 f1 = 3 (420 Hz) = 1260 Hz
Al treilea supraton (f 4 ) = 4 f 1 = 4 (420 Hz) = 1680 Hz
Raspunsul corect este C.
4. Lungimea de undă a primului supraton al unei coarde este de 40 cm. Dacă viteza undei sonore în aer este de 340 m/s, determinați al treilea supraton.
A. 850 Hz
B. 1600 Hz
C. 1700 Hz
D. 3200 Hz
Cunoscut:
Lungimea de undă a primului supraton (λ) = 40 cm = 0.4 metri
Viteza undei sonore în aer (v) = 340 metri/secundă
Căutat: frecvența celui de-al treilea supraton
soluţie:
Mai jos este reprezentată o figură a unei unde staționare pe o coardă cu ambele capete fixate. Mai întâi, calculați lungimea coardei folosind lungimea de undă a primului supraton. După aceea, înainte de a calcula frecvența celui de-al treilea supraton, calculați mai întâi lungimea de undă a celui de-al treilea supraton.
Lungimea de undă a primului armonic:
Lungimea șirului (L) = 2 λ
Lungimea șirului (L) = λ
Lungimea șirului (L) = 0.4 metri
Lungimea de undă a celui de-al treilea supraton:
L = 2 λ
0.4 = 2 λ
λ = 0.4 / 2
λ = 0.2 metri
Frecvența celui de-al treilea supraton:
f = v / λ
f = 340 : 0.2
f = 1700 Hertz
Raspunsul corect este C.
5. Un tub deschis la ambele capete, cu o lungime de 40 cm, produce un ton fundamental cu frecvența de 420 Hz. Determinați al doilea supraton.
A. 380 Hz
B. 460 Hz
C. 840 Hz
D. 1260 Hz
Cunoscut:
Lungimea țevii (L) = 40 cm = 0.4 metri
Frecvența tonului fundamental (f1 ) = 420 Hertz
Căutat: Frecvența celui de-al doilea supraton ( f3 )
soluţie:
Dacă tonul fundamental (f1 ) = 420 Hertz, atunci al doilea supraton (f3 ) = 3, f1 = 3 (420 Hertz) = 1260 Hertz
Raspunsul corect este D.
6. Unda sonoră la un tub închis are un model de undă similar cu…
A. Propagarea undelor pe o coardă
B. Propagarea undelor pe coloana de aer
C. Undă staționară pe o coardă fixată la un capăt
D. Undă staționară pe o coardă fixată la ambele capete
soluţie:
Un tub închis este un tub deschis la un capăt, dar închis la celălalt, așa cum se arată în figura de mai sus.
Raspunsul corect este C.
20 de întrebări și răspunsuri conceptuale legate de undele staționare:
1. Întrebare: Ce este o undă staționară?
Răspuns: O undă staționară este o formă de undă care pare să rămână staționară, cu noduri și antinoduri, rezultată din interferența a două unde care călătoresc în direcții opuse.
2. Întrebare: Prin ce se deosebesc nodurile de antinoduri?
Răspuns: Nodurile sunt puncte de amplitudine zero, unde unda rămâne în repaus, în timp ce antinodurile sunt puncte de amplitudine maximă.
3. Întrebare: Se pot forma unde staționare în orice mediu?
Răspuns: Undele staționare se pot forma în orice mediu care permite propagarea undelor, cum ar fi corzile, coloanele de aer și apa.
4. Întrebare: Cum este legată frecvența unei unde staționare de numărul său armonic?
Răspuns: Frecvența fundamentală (prima armonică) este cea mai joasă frecvență a unei unde staționare. Armonicile superioare au frecvențe care sunt multipli întregi ai frecvenței fundamentale.
5. Întrebare: Ce determină locațiile nodurilor într-o undă staționară?
Răspuns: Nodurile se formează acolo unde undele care călătoresc în direcții opuse interferează distructiv, anulându-se reciproc.
6. Întrebare: Cum se creează undele staționare pe o coardă fixată la ambele capete?
Răspuns: Când o undă care călătorește pe o coardă se reflectă la capătul fix, aceasta interferează cu undele de intrare, creând un model de undă staționară dacă frecvențele corespund anumitor condiții.
7. Întrebare: Care este relația dintre lungimea de undă și lungimea mediului într-o undă staționară?
Răspuns: Pentru o coardă fixată la ambele capete, lungimea mediului este un multiplu întreg al jumătății lungimii de undă a undei staționare.
8. Întrebare: De ce undele staționare nu transferă energie prin mediu?
Răspuns: În timp ce particulele individuale din mediu oscilează, modelul general de undă rămâne staționar, deci nu există transport net de energie în nicio direcție anume.
9. Întrebare: Puteți observa unde staționare în tuburi deschise?
Răspuns: Da, undele staționare se pot forma în tuburi deschise, dar condițiile limită diferă de cele ale tuburilor închise, afectând pozițiile nodurilor și antinodurilor.
10. Întrebare: Ce se întâmplă cu unda staționară atunci când tensiunea dintr-o coardă crește?
Răspuns: Creșterea tensiunii mărește viteza undei, ceea ce poate schimba frecvența și modelul undei staționare.
11. Întrebare: Cum este rezonanța legată de undele staționare?
Răspuns: Rezonanța apare atunci când o forță externă sau o vibrație se potrivește cu frecvența naturală a unui sistem, creând o undă staționară pronunțată.
12. Întrebare: Care este frecvența fundamentală?
Răspuns: Frecvența fundamentală, sau prima armonică, este cea mai joasă frecvență la care un sistem poate suporta o undă staționară.
13. Întrebare: Cum sunt legate armonicele și supratonurile?
Răspuns: Supratonurile sunt frecvențe peste frecvența fundamentală. Primul supraton corespunde celei de-a doua armonice, al doilea supraton corespunde celei de-a treia armonice și așa mai departe.
14. Întrebare: De ce nu există deplasare la noduri?
Răspuns: La noduri, cele două unde interferente sunt defazate cu 180°, rezultând o interferență distructivă și deplasare zero.
15. Întrebare: Pot fi polarizate undele staționare?
Răspuns: Undele staționare pe o coardă sunt transversale și, prin urmare, au o direcție de oscilație (polarizare). Cu toate acestea, într-un mediu precum aerul, undele sonore staționare sunt longitudinale și nu prezintă polarizare.
16. Întrebare: De ce folosesc instrumentele muzicale principiul undelor staționare?
Răspuns: Instrumentele muzicale produc adesea sunet prin crearea de unde staționare, diferite armonice producând note muzicale diferite.
17. Întrebare: Cum este legată viteza undei de frecvența și lungimea de undă a unei unde staționare?
Răspuns: Viteza undei (v) este produsul dintre frecvență (f) și lungimea de undă (λ): v = fx λ.
18. Întrebare: Pot două frecvențe diferite să producă unde staționare în același mediu?
Răspuns: Da, atâta timp cât frecvențele corespund condițiilor pentru undele staționare din mediul respectiv. Fiecare frecvență reprezintă o armonică diferită.
19. Întrebare: Prin ce diferă undele staționare din tuburile închise de cele din tuburile deschise?
Răspuns: În tuburile închise, un capăt are un nod, în timp ce celălalt capăt are un antinod. În tuburile deschise, ambele capete au antinoduri.
20. Întrebare: Se pot forma unde staționare cu orice frecvență într-un mediu dat?
Răspuns: Nu, doar anumite frecvențe care îndeplinesc condițiile limită ale mediului vor produce unde staționare.
Înțelegerea undelor staționare este crucială în diverse domenii, de la muzică la telecomunicații, deoarece acestea reprezintă comportamente fundamentale ale undelor în condiții specifice.
