Como calcular a variância: um guia completo
A variância é uma estatística fundamental usada em diversas áreas, da economia e engenharia à psicologia e à própria estatística. Ela fornece informações sobre o quanto os valores em um conjunto de dados estão dispersos em torno da média. Neste artigo, exploraremos em detalhes como calcular a variância, desde a definição até os passos práticos.
Introdução
Para entender a variância, precisamos compreender alguns conceitos básicos de estatística. A variância é uma medida de quão distantes os valores em um conjunto de dados estão da média. Ela é calculada como a média dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média. A variância fornece uma indicação da "variabilidade" dos dados.
Definição de Variância
Matematicamente, a variância é:
\[ \text{Variância} ( \sigma^2 ) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \]
di mana:
– \( \sigma^2 \) é a variância da população.
– \( N \) é o número total de valores na população.
– \( x_i \) é o valor do i-ésimo indivíduo.
– \( \mu \) é a média populacional.
Para amostras, a fórmula da variância é ligeiramente diferente:
\[ \text{Variância da amostra} ( s^2 ) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]
di mana:
– \( s^2 \) é a variância da amostra.
– \( n \) é o número total de valores na amostra.
– \( x_i \) é o valor do i-ésimo indivíduo na amostra.
– \( \bar{x} \) é a média da amostra.
Etapas para calcular a variância
Vamos revisar os passos práticos para calcular a variância através de um exemplo concreto.
Exemplo: Cálculo da variância populacional
Suponha que temos um pequeno conjunto de dados composto pelos seguintes valores: 2, 4, 6, 8, 10.
1. Passo 1: Calcular a média (média aritmética)
\[ \mu = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6 \]
2. Passo 2: Calcule a diferença de cada valor em relação à média e eleve-a ao quadrado.
\[
\begin{align }
(2 – 6)^2 &= (-4)^2 = 16 \\
(4 – 6)^2 &= (-2)^2 = 4 \\
(6 – 6)^2 &= 0^2 = 0 \\
(8 – 6)^2 &= 2^2 = 4 \\
(10 – 6)^2 &= 4^2 = 16 \\
\end{align }
\]
3. Passo 3: Some todos os quadrados das diferenças
\[ 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 \]
4. Passo 4: Divida a soma dos quadrados das diferenças pelo número de valores (N)
\[ \sigma^2 = \frac{40}{5} = 8 \]
Assim, a variância populacional desses dados é 8.
Exemplo: Cálculo da variância da amostra
Agora, suponha que peguemos uma pequena amostra do conjunto de dados acima: 2, 4, 6.
1. Passo 1: Calcular a média da amostra
\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6}{3} = 4 \]
2. Passo 2: Calcule a diferença de cada valor em relação à média e eleve-a ao quadrado.
\[
\begin{align }
(2 – 4)^2 &= (-2)^2 = 4 \\
(4 – 4)^2 &= 0^2 = 0 \\
(6 – 4)^2 &= 2^2 = 4 \\
\end{align }
\]
3. Passo 3: Some todos os quadrados das diferenças
\[ 4 + 0 + 4 = 8 \]
4. Passo 4: Divida a soma dos quadrados das diferenças por (n – 1)
\[ s^2 = \frac{8}{3-1} = \frac{8}{2} = 4 \]
Assim, a variância amostral desses dados é 4.
Variância na população e na amostra
É importante compreender a diferença entre variância populacional e variância amostral. A variância populacional mede a dispersão dos dados em toda a população, enquanto a variância amostral mede a dispersão dentro de um subconjunto (amostra) da população. Em muitos casos, a variância amostral é usada para estimar a variância populacional. Dividir por \( (n-1) \) no cálculo da variância amostral reduz o viés na estimativa da variância populacional.
Pedido de Variação
A variância é utilizada em diversas aplicações, tais como:
1. Análise de Risco Financeiro: Em finanças, a variância é usada para medir o risco e gerenciar carteiras de investimento. Uma variância maior significa um investimento mais arriscado.
2. Ciências Sociais: Em pesquisas de psicologia ou sociologia, a variância é usada para medir diferenças entre grupos populacionais.
3. Controle de Qualidade: Na fabricação, as variações são utilizadas para monitorar e controlar a qualidade do produto.
4. Estatística Experimental: Utilizada para analisar resultados experimentais e determinar a significância das diferenças.
Variância e Desvio Padrão
A variância é frequentemente usada em conjunto com o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância. O desvio padrão fornece uma medida de dispersão mais direta e de mais fácil interpretação do que a variância. A equação entre os dois é:
\[ \text{Desvio Padrão} (\sigma) = \sqrt{\text{Variância} (\sigma^2)} \]
Conclusão
O cálculo da variância é uma parte importante da análise estatística , fornecendo uma medida da dispersão ou amplitude de um conjunto de dados. Ao compreendermos os conceitos básicos e como calcular a variância, podemos analisar melhor os dados , avaliar riscos e tomar decisões mais informadas.
Seja para usar a variância populacional em análises mais científicas ou a variância amostral para estimativas a partir de um subconjunto de dados, uma compreensão profunda da variância nos ajuda a entender a diversidade dos dados e a aplicá-la a uma variedade de situações do mundo real. Esperamos que este artigo forneça um guia prático e útil para entender e calcular a variância.
