Equação de Poiseuille

A equação é chamada de equação de Poiseuille porque foi descoberta por Jean Louis Marie Poiseuille (1799-1869). Como explicado, todo fluido pode ser considerado um fluido ideal. Fluidos ideais não possuem viscosidade. Se imaginarmos um fluido ideal fluindo em um tubo, cada parte do fluido se move à mesma velocidade (v). Ao contrário dos fluidos ideais, os fluidos reais, ou os fluidos que encontramos no dia a dia, possuem viscosidade. Devido à viscosidade, quando fluem em um tubo, por exemplo, a velocidade de cada parte do fluido varia. A camada de fluido no meio se move mais rápido (v é grande), enquanto a camada de fluido aderida ao tubo não se move, ou seja, permanece parada (v = 0). Portanto, do centro até a borda do tubo, cada parte do fluido se move a velocidades diferentes. Para facilitar a compreensão, observe a imagem abaixo…

Em formação :

R = raio do tubo/cano

v ₁ = taxa de fluxo de fluido no centro/eixo do tubo

v₂ = taxa de fluxo _de fluido a uma distância r₂ _da borda do tubo

v ₃ = taxa de fluxo de fluido a uma distância r ₃ da borda do tubo

v ₄ = taxa de fluxo de fluido a uma distância r ₄ da borda do tubo

r = distância

Para garantir que a vazão de cada fluido seja a mesma, deve haver uma diferença de pressão em ambas as extremidades de qualquer tubo ou cano por onde o fluido flui. Por fluido, aqui nos referimos a fluidos reais, como água ou óleo fluindo por um cano, sangue fluindo por vasos sanguíneos, etc. Além de ajudar um fluido real a fluir suavemente, as diferenças de pressão também podem permitir que fluidos fluam em tubos em diferentes alturas.

Jean Louis Marie Poiseuille, um cientista francês interessado nos aspectos físicos da circulação sanguínea humana, conduziu pesquisas para investigar como fatores como diferenças de pressão, a área da seção transversal de um tubo e o tamanho do tubo afetam a velocidade de um fluido real. Os resultados obtidos por Jean Louis Marie Poiseuille são conhecidos como a equação de Poiseuille.

A equação de Poiseuille pode ser derivada usando a equação do coeficiente de viscosidade previamente obtida. Utilizamos a equação da viscosidade porque o caso é similar, embora não idêntico. Ao derivar a equação do coeficiente de viscosidade, consideramos o escoamento de uma camada de fluido real entre duas placas paralelas, e o fluido é capaz de se mover devido à força de tração (F). A diferença reside no fato de que a equação de Poiseuille que derivaremos considera os fatores que influenciam o escoamento de um fluido real em um tubo, e o fluido escoa devido às diferenças de pressão. Portanto, a equação do coeficiente de viscosidade precisa ser ajustada novamente.

Os fluidos podem fluir devido a diferenças de pressão (os fluidos fluem de locais com alta pressão para locais com baixa pressão), então substituímos F por p ₁ – p ₂ (p ₁ > p ₂ ).

Ao derivar a equação para o coeficiente de viscosidade, consideramos o escoamento de uma camada de fluido real entre duas placas paralelas. Cada porção do fluido experimenta uma mudança regular de velocidade a cada distância l. Nesse caso, a vazão do fluido varia regularmente do eixo do tubo até a sua borda. O fluido no eixo do tubo escoa a uma velocidade maior (v). Quanto mais próximo da borda, menor a velocidade do fluido. O raio do tubo é igual à distância entre o eixo do tubo e a sua borda, que é R. A distância entre cada porção do fluido e a borda do tubo é r. Como o número de porções do fluido é muito grande e a distância delas até a borda do tubo também varia, podemos escrever a equação da seguinte forma:

v ₁ = velocidade do fluido a uma distância r1 da borda do tubo (r1 = R)

v ₂ = velocidade do fluido a uma distância r2 da borda do tubo (r2 < r1)

v ₃ = velocidade do fluido a uma distância r3 da borda do tubo (r3 < r2 < r1)

v ₄ = velocidade do fluido a uma distância r4 da borda do tubo (r4 < r3 < r2 < r1)

............................................. ..

vn = velocidade do fluido a uma distância rn da borda do tubo (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )

O número de cada parte do fluido é muito grande e também não sabemos exatamente qual é o seu valor, então basta representá-lo com o símbolo n. Cada parte do fluido experimenta uma mudança na taxa (v) regularmente, do eixo do tubo (r1 = R) até a borda do tubo (rn). Do eixo do tubo (r1 = R) até a borda do tubo (rn), a taxa de cada parte do fluido diminui (v1 > v2 > v3 > v4 > … > vn).

Pela explicação acima, podemos ter uma ideia de que, de R para rn, a vazão do fluido diminui. O comprimento do tubo é igual a L. A equação obtida é:

Como estamos considerando a taxa (v) de fluxo do fluido, a equação 2 se torna:

Esta é a equação para a vazão de um fluido a uma distância r de um tubo com raio R. Se você estiver confuso ao olhar para a imagem acima... Observe que o fluido flui em um tubo, portanto, precisamos revisar a vazão volumétrica do fluido.

Dentro do tubo há um fluido. Por exemplo, dividimos o fluido em porções muito pequenas, onde cada porção tem uma área unitária dA, está a uma distância do eixo do tubo e tem uma vazão v. Matematicamente, isso pode ser escrito da seguinte forma:

dA1 = seção fluida 1, que está a uma distância de 1 do eixo do tubo.

dA2 = seção fluida 2, que está a uma distância de 2 do eixo do tubo.

dA3 = seção fluida 3, que está a uma distância de 3 do eixo do tubo.

..................................

dA n = seção fluida n, que está a uma distância dA n do eixo do tubo

Existem tantas partículas fluidas que é conveniente representá-las simplesmente com o símbolo n. A vazão volumétrica de cada partícula fluida pode ser expressa matematicamente da seguinte forma:

Cada porção de fluido está a uma distância de r = 0 a r = R (R = raio do tubo). Em outras palavras, a distância de cada porção de fluido varia quando medida a partir do eixo do tubo. Se utilizarmos cálculo (integração), obteremos a equação para a vazão volumétrica do fluido no tubo:

Em formação :

Q = Débito

R = Raio interno do tubo ou cano

η = Coeficiente de viscosidade

P1 – P2 _{= Diferença de} pressão entre as duas extremidades do tubo

L = Comprimento do tubo

p ₁ -p ₂ /L = Gradiente de pressão (o fluxo de fluido sempre ocorre na direção da diminuição da pressão)

Com base na equação de Poiseuille acima, parece que a vazão volumétrica do fluido, também conhecida como descarga (Q), é proporcional à quarta potência do raio do tubo (R⁴ ₎ , ao gradiente de pressão (p₂ _– p₁ _/ L) e é inversamente proporcional à viscosidade. Se o raio do tubo for aumentado (mantendo-se constantes o coeficiente de viscosidade e o gradiente de pressão), a vazão do fluido aumenta por um fator de 16.

O conceito básico do projeto de tubos, seringas e outros objetos utiliza esta equação. A vazão do fluido é proporcional a R⁴ ₍ R = raio do tubo). O raio da seringa ou do tubo precisa ser calculado com cuidado. Por exemplo, se dobrarmos o raio da agulha (r x 2), a vazão do fluido pulverizado aumentará a força de pressão exercida pelo polegar em 16 vezes.

A equação de Poiseuille também mostra que a quarta potência do raio (r⁴ ⁾ é inversamente proporcional à diferença de pressão entre as duas extremidades do tubo. Por exemplo, inicialmente o sangue flui em um vaso sanguíneo com raio interno r. Se houver um estreitamento do vaso sanguíneo (por exemplo, r/2 = o raio interno do vaso sanguíneo é reduzido pela metade), então uma diferença de pressão de 16 vezes maior é necessária para que o sangue flua como antes (de modo que a vazão ou o volume sanguíneo permaneça constante).