Material sobre a Equação da Continuidade
Tente abrir a torneira lentamente enquanto observa o fluxo de água. Assim que a torneira parar de girar, bloqueie-a parcialmente com a mão. Agora compare qual fluxo de água é maior: com a torneira parcialmente bloqueada ou sem bloqueio? Se você tiver uma mangueira, daquelas que você usa para regar plantas, deixe a água correr por ela. Bloqueie parcialmente a mangueira com a mão ou o dedo. Quanto mais da mangueira estiver bloqueada, mais rápido a água sairá. Por outro lado, se a mangueira não estiver bloqueada, a água sairá mais lentamente. Por que isso acontece? Para entender, estude a equação da continuidade.
Linhas de fluxo e tubos de fluxo
Primeiramente, vamos entender os conceitos de linhas de corrente e tubos de fluxo. Esse conceito é importante porque ajudará você a compreender a equação da continuidade.
Linha de fluxo
Observe a imagem abaixo; a linha azul representa o Streamline.
Em um fluxo constante, a velocidade de cada partícula de fluido em um ponto, digamos o ponto A, permanece constante. Ao passar pelo ponto B, a velocidade das partículas de fluido pode mudar. No entanto, ao chegar ao ponto B, as partículas de fluido que vêm atrás continuam a fluir com a mesma velocidade das partículas que as precederam. O mesmo se aplica ao chegar ao ponto C, e assim por diante. A linha de corrente é a curva que conecta os pontos A, B e C.
Tubo de fluxo
Essencialmente, podemos traçar cada linha de corrente através de cada ponto no fluxo do fluido. Se considerarmos um fluxo de fluido constante, um conjunto de linhas de corrente que passam por um determinado ângulo em uma área de superfície imaginária (área de superfície imaginária) forma um tubo de fluxo. Nenhuma partícula de fluido se cruza, mas todas são paralelas, e o tubo de fluxo se assemelha a um cano que sempre tem a mesma forma. O fluido que entra por uma extremidade do tubo sai pela outra extremidade.
Débito
A vazão indica o volume de um fluido que flui através de uma determinada seção transversal em um certo intervalo de tempo. Matematicamente, pode ser expressa da seguinte forma:
Para melhor compreensão, vamos usar um exemplo. Suponha que um fluido escoe por um tubo. Os tubos geralmente são cilíndricos e possuem uma área de seção transversal específica. O tubo também possui um comprimento.
Quando o fluido flui no tubo até uma distância L, o volume de fluido no tubo é V = AL (onde V = volume do fluido, A = área da seção transversal e L = comprimento do tubo). Como durante o fluxo no tubo ao longo de L o fluido percorre um certo intervalo de tempo, podemos dizer que a magnitude da vazão do fluido é:
Como v = s/t = L/t —> L = vt, a equação acima se transforma em:
Assim, quando um fluido flui através de um tubo que possui uma determinada área de seção transversal e comprimento durante um certo intervalo de tempo, a magnitude da vazão do fluido (Q) é igual à área da superfície da seção transversal (A) multiplicada pela velocidade do fluxo do fluido (v).
Equação da Continuidade
Considere o fluxo de fluido em um tubo com diferentes diâmetros, conforme mostrado na figura abaixo.
Esta imagem mostra o fluxo de fluido da esquerda para a direita (o fluido flui de um tubo com diâmetro maior para um tubo com diâmetro menor). As linhas tracejadas representam as linhas de corrente.
Legenda da imagem: A1 = área da seção transversal do tubo de maior diâmetro, A2 = área da seção transversal do tubo de menor diâmetro, v1 = velocidade do fluxo do fluido no tubo de maior diâmetro, v2 = velocidade do fluxo do fluido no tubo de menor diâmetro, L = distância percorrida pelo fluido.
Na introdução à dinâmica dos fluidos, foi explicado que, nesse campo, estudamos o escoamento de fluidos incompressíveis, não viscosos, não turbulentos e em regime permanente. Em um escoamento permanente, a velocidade das partículas do fluido em um ponto é igual à velocidade das partículas que passam por esse mesmo ponto. Os fluxos de fluido também não se cruzam (as linhas de corrente são paralelas). Portanto, a massa de fluido que entra em uma extremidade do tubo deve ser igual à massa de fluido que sai da outra extremidade. Se um fluido com determinada massa entra em um tubo de grande diâmetro, ele sairá do tubo de pequeno diâmetro com massa constante.
Agora, observe a imagem do cano acima. Observe a parte do cano com o diâmetro maior e a parte do cano com o diâmetro menor.
Durante um determinado intervalo de tempo, uma certa quantidade de fluido flui através de uma seção de tubo com um grande diâmetro (A).1) até L1 (L1 = v1 t). O volume de fluido que flui é V1 = A1 L1 = A1 v1 t. Durante o mesmo intervalo de tempo, outra quantidade de fluido flui através de uma seção do tubo com um diâmetro menor (A).2) até L2 (L2 = v2 t). O volume de fluido que flui é V2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Equação da Continuidade para Fluidos Incompressíveis (incompressível)
Primeiramente, vamos considerar o caso de um fluido incompressível. Em um fluido incompressível, a densidade, ou massa, do fluido é sempre a mesma em todos os pontos por onde ele passa. A massa de fluido que flui em um tubo com área de seção transversal A1 ( o diâmetro maior do tubo) durante um certo intervalo de tempo é:
Da mesma forma, a massa de fluido que flui em um tubo com área de seção transversal de A 2 (diâmetro do tubo pequeno) durante um determinado intervalo de tempo é:
Considerando que, em regime permanente, a massa de fluido que entra é igual à massa de fluido que sai, então:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (a densidade do fluido e o intervalo de tempo são iguais, então se cancelam)
A 1 v 1 = A 2 v 2
Assim, em fluidos incompressíveis, aplica-se a equação da continuidade:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Equação 1
Em formação :
A₁ = área da seção transversal 1, A₂ = área da seção transversal 2, v₁ = velocidade do fluido na seção transversal 1, v₂ = velocidade do fluido na seção transversal 2, Av = vazão volumétrica V/t (também conhecida como descarga ).
A Equação 1 mostra que a vazão volumétrica, também conhecida como descarga, é sempre a mesma em todos os pontos ao longo de um tubo ou conduto de fluxo. À medida que a seção transversal do tubo diminui, a vazão do fluido aumenta; inversamente, à medida que a seção transversal do tubo aumenta, a vazão do fluido diminui.
Quando fechamos parcialmente a torneira, o fluxo de água aumenta em comparação com quando a torneira está parcialmente fechada. Isso ocorre porque a área da seção transversal da torneira diminui quando ela está parcialmente fechada, aumentando a vazão (o fluido flui mais rápido). O mesmo acontece com mangueiras. No entanto, é importante observar que a vazão volumétrica permanece a mesma em todos os pontos do fluxo de água, independentemente de a torneira estar parcialmente fechada ou não. Portanto, o que muda é a velocidade do fluxo do fluido.
E quanto ao fluxo de água em um rio? Trechos mais profundos de um rio têm uma seção transversal maior do que trechos mais rasos, portanto, a vazão de água em trechos mais profundos é menor do que em trechos mais rasos. Se você observar um rio com fluxo muito calmo, isso significa que o rio é profundo. Mas se o rio de repente ficar com correnteza forte, esse trecho é definitivamente raso. No entanto, a vazão em volume de água é sempre a mesma, tanto em trechos profundos quanto em trechos calmos do rio.
Equação da Continuidade para Fluidos Compressíveis (compressível)
No caso de fluidos compressíveis , a densidade do fluido nem sempre é a mesma. Em outras palavras, a densidade do fluido muda quando comprimido. Enquanto em fluidos incompressíveis a densidade do fluido é eliminada da equação, neste caso, a densidade do fluido ainda é considerada. Com base na equação derivada anteriormente, vamos derivar a equação para fluidos compressíveis.
Considerando que, em regime permanente, a massa de fluido que entra é igual à massa de fluido que sai, então:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
O intervalo de tempo do fluxo de fluido é o mesmo, portanto pode ser eliminado. A equação se transforma em:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Equação 2
Esta é a equação para um fluido compressível. A única diferença reside na densidade do fluido. Quando um fluido é comprimido, sua densidade muda. Por outro lado, quando um fluido é incompressível, sua densidade permanece constante e pode ser cancelada.
Exemplo de pergunta 1:
A água flui através de um tubo com diâmetro de 10 cm a uma velocidade de 2 m/s. Qual é a vazão da água?
Discussão
Sabe-se que:
Diâmetro do tubo = 10 cm (este é o diâmetro interno do tubo)
Raio do tubo (r) = 5 cm = 0,05 m
v água = 2 m/s
Pergunta: Débito
Resposta:
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) 2 (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m 2 )(2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
Exemplo de pergunta 2:
Um cano de água com 20 cm de diâmetro está conectado a outro cano com 10 cm de diâmetro. Se a vazão de água no cano de 20 cm de diâmetro é de 4 m/s, qual é a vazão de água no cano de 10 cm de diâmetro?
Discussão
Sabe-se que:
Diâmetro 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0,1 m)
v 1 = 4 m/s
Diâmetro 2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0,05 m)
Pergunta feita: v 1
Resposta:
Q 1 = Q 2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) 2 (4 m/s) = (0,05 m) 2 (v 2 )
(0,01 m² ) (4 m/s) = (0,0025 m² ) ( v² )
(0,04 m 3 /s) = (0,0025 m 2 )(v 2 )
v 2 = 16 m/s
