Material sobre multiplicação de pontos usando componentes de vetores unitários
Podemos calcular o produto escalar diretamente se conhecermos as componentes x, y e z dos vetores A e B (os vetores conhecidos).
Para realizar um produto escalar dessa forma, primeiro realizamos o produto escalar dos vetores unitários, depois expressamos os vetores A e B em suas componentes, decompomos o produto e utilizamos o produto dos vetores unitários.
Os vetores unitários i , j e k são perpendiculares entre si, facilitando os cálculos. Usando a equação de multiplicação escalar derivada acima ( AB = AB cos θ ), obtemos:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
Agora expressamos os vetores A e B em termos de suas componentes, decompomos seu produto e usamos o produto de vetores unitários.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Karena i . i = j . j = k . k = 1 e i . j = i . k = j . k = 0, então:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Com base nos resultados desse cálculo, pode-se concluir que o produto escalar ou produto interno de dois vetores é a soma dos produtos de suas componentes semelhantes.
Exemplo de pergunta 1:
Vetor grande A dan B Os valores são 5 e 4, respectivamente, como mostrado na imagem abaixo. O ângulo formado é de 90°.oConte isso produto escalar ambos os vetores.
Discussão
Antes de calcularmos o produto escalar dos vetores A e B, precisamos primeiro conhecer as componentes do segundo vetor.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sen 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sen 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
O vetor A possui componentes vetoriais apenas no eixo x e o vetor B possui componentes vetoriais apenas no eixo y. A componente z é zero porque os vetores A e B estão no plano xy.
Agora calculamos o produto escalar entre os vetores A e B usando a equação do produto escalar com vetores componentes:
UMA . B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Vamos comparar com o primeiro método.
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
O resultado é o mesmo.
Exemplo de pergunta 2:
Vetor grande A dan B são 5 e 4, respectivamente, como mostrado na imagem abaixo. Calcule produto escalar ambos os vetores, se o ângulo formado for 30o
Discussão
Antes de calcularmos o produto escalar dos vetores A e B, precisamos primeiro conhecer as componentes do segundo vetor.
A componente z é zero porque os vetores A e B estão no plano xy.
Agora calculamos o produto escalar entre os vetores A e B usando a equação do produto escalar com vetores componentes:
Compare com o primeiro método.
