Exemplos de perguntas e discussão: Variância e desvio padrão de dados individuais
Estatística é um ramo da matemática que se ocupa da coleta, análise, interpretação, apresentação e organização de dados. Dois conceitos importantes em estatística são a variância e o desvio padrão. Este artigo discutirá em detalhes como calcular a variância e o desvio padrão de um conjunto de dados por meio de diversos exemplos.
Entendendo a Variância e o Desvio Padrão
A variância é uma medida que quantifica o quanto os números em um conjunto de dados estão dispersos em relação à média. A variância é expressa em unidades quadradas dos dados originais, o que muitas vezes dificulta sua interpretação.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Ele fornece uma medida mais intuitiva de quão longe os dados geralmente se desviam da média, porque suas unidades são as mesmas que as unidades originais dos dados.
Fórmula Geral
Para dados individuais, a fórmula para a variância \( \sigma^2 \) e o desvio padrão \( \sigma \) da população é a seguinte:
1. Variância (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Desvio padrão (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
De mana:
– \( N \) é o número de dados na população.
– \( x_i \) é o i-ésimo valor de dados.
– \( \mu \) é a média ou média aritmética dos dados.
Se calcularmos a variância e o desvio padrão da amostra, a fórmula acima será ligeiramente modificada:
1. Variância da amostra (s²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Desvio Padrão da Amostra (s):
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
De mana:
– \( n \) é o número de dados na amostra.
– \( \bar{x} \) é a média ou média aritmética da amostra.
Contoh Soal e Pembahasan
Exemplo de pergunta 1:
Considerando os seguintes dados:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Calcule a variância e o desvio padrão dos dados!
Etapas da solução:
1. Calculando a média (média aritmética) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Calcule a diferença entre os dados e a média e, em seguida, eleve ao quadrado:
\[
(8 – 10.67) ^ 2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67) ^ 2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67) ^ 2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67) ^ 2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67) ^ 2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67) ^ 2 = 11.1089
\]
3. Somando todos os resultados ao quadrado:
\[
\soma (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Cálculo da variância (σ²) dos dados populacionais:
\[
σ² = (21.3534)/6 = 3.559
\]
Nota: Como esses dados são apresentados como dados populacionais, dividimos por 6.
5. Cálculo do desvio padrão (σ):
\[
σ = √3.559 ≈ 1.886
\]
Assim, a variância dos dados é 3.559 e o desvio padrão é 1.886.
Exemplo de pergunta 2:
Dados os seguintes dados de exemplo:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Calcule a variância e o desvio padrão da amostra!
Etapas da solução:
1. Calculando a média (média aritmética) \( \bar{x} \) :
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Calcule a diferença entre os dados e a média e, em seguida, eleve ao quadrado:
\[
(5 – 8.167) ^ 2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167) ^ 2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167) ^ 2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167) ^ 2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167) ^ 2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167) ^ 2 = 7.945
\]
3. Somando todos os resultados ao quadrado:
\[
∑ (x_i – x̄)^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Cálculo da variância da amostra (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Nota: Como estes são dados de amostra, dividimos por 5 (n-1).
5. Cálculo do desvio padrão (s):
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]
Assim, a variância dos dados da amostra é 5.351 e o desvio padrão é 2.313.
Conclusão
Calcular a variância e o desvio padrão é fundamental para entender o grau de dispersão dos dados em um determinado conjunto. Enquanto a variância fornece uma medida teórica de dispersão em quadrados das unidades originais, o desvio padrão interpreta essa medida em termos das unidades originais dos dados, facilitando a compreensão. Na análise de dados, essas duas medidas são frequentemente usadas para avaliar a variabilidade dos dados e tomar decisões estatísticas.
Ao compreendermos os passos e fórmulas necessários, podemos calcular facilmente a variância e o desvio padrão em diversas situações que encontramos no dia a dia da coleta e análise de dados. Esperamos que este artigo proporcione uma compreensão mais profunda dos conceitos de variância e desvio padrão em conjuntos de dados individuais.
