Exemplos de questões e discussão sobre a aplicação de integrais no cálculo da área de um plano.
No ensino da matemática, as integrais são frequentemente encontradas no cálculo. Uma das aplicações mais conhecidas das integrais é o cálculo da área sob uma curva ou plano. Este artigo discutirá vários exemplos e a aplicação de integrais ao cálculo da área de um plano.
Introdução à Teoria
Antes de prosseguirmos para o exemplo, vamos revisar o conceito básico de cálculo da área sob uma curva usando integrais. Se tivermos uma função f(x) contínua no intervalo [a, b], então a área sob a curva y = f(x) de x = a a x = b é:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Geometricamente, isso significa que estamos somando a área de um retângulo muito fino, de x = a a x = b.
Exemplo de pergunta 1
Solo
Calcule a área sob a curva y = x² no intervalo [1, 3].
Discussão
Para calcular a área, usamos a integral:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Começamos por encontrar a antiderivada de \( x^2 \). A antiderivada de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \). Então a integral torna-se:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Lembre-se de que temos que avaliar a antiderivada nos limites da integral:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \right) – \left( \frac{1}{3} \right) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{26}{3} \]
Portanto, a área sob a curva y = x² de x = 1 a x = 3 é:
\[ \frac{26}{3} \, \text{unidade de área} \]
Exemplo de pergunta 2
Solo
Determine a área da região delimitada pela curva y = x³ e pelas retas x = 1 e x = 2.
Discussão
Para calcular a área, usamos a integral:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Como de costume, começamos encontrando a antiderivada de \( x^3 \). A antiderivada de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). A integral torna-se:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Calcule os limites da integral:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \right) – \left( \frac{1}{4} \right) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[ L = \frac{15}{4} \]
Portanto, a área sob a curva y = x³ de x = 1 a x = 2 é:
\[ \frac{15}{4} \, \text{unidade de área} \]
Exemplo de pergunta 3
Solo
Determine a área da região delimitada pelas curvas y = x² + 1 e y = 2x + 2 no intervalo de x = 0 a x = 1.
Discussão
Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção para determinar os limites da integração. A solução para \( x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Utilizando a fórmula quadrática:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
No entanto, para os limites superior e inferior entre 0 e 1, não precisamos usar a solução quadrática, apenas o limite integral ordinário de 0 a 1. Em seguida, calcule a área da curva y superior menos a área da curva y inferior de acordo com esses limites:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Simplificação da função:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Em seguida, encontramos a antiderivada:
A antiderivada de \( (-x^2) \) é \( -\frac{x^3}{3} \),
A antiderivada de \( (2x) \) é \( x^2 \),
A antiderivada de \( (1) \) é \( x \).
De modo a,
\[ L = \left. \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \right) \right|_0^1 \]
Próxima avaliação:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[ L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[ L = \frac{5}{3} \]
Assim, a área da região delimitada pelas curvas y = x² + 1 e y = 2x + 2 no intervalo [0, 1] é:
\[ \frac{5}{3} \, \text{unidade de área} \]
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A partir dos exemplos acima, podemos ver como as integrais podem ser usadas para calcular a área sob uma curva ou entre duas curvas. Com uma compreensão adequada dos conceitos básicos de integrais e técnicas de antiderivadas, o cálculo dessas áreas torna-se muito sistemático e eficiente. Esperamos que este artigo tenha ampliado nossa compreensão da aplicação de integrais no mundo real, particularmente na área de medição da área de superfícies planas.
