Exemplo de uma questão para discussão sobre o coeficiente de determinação
O coeficiente de determinação (R²) é um parâmetro importante na análise de regressão, indicando o quão bem um modelo de regressão explica a variabilidade real dos dados. Neste artigo, explicaremos o conceito de coeficiente de determinação por meio de um exemplo detalhado e uma discussão.
Conceito básico do coeficiente de determinação
O coeficiente de determinação ou \( R^2 \) é medido numa escala de 0 a 1, onde:
– \( R^2 = 0 \) indica que o modelo de regressão não é capaz de explicar a variabilidade dos dados.
– \( R^2 = 1 \) mostra que o modelo de regressão é capaz de explicar perfeitamente toda a variabilidade dos dados.
A fórmula básica para calcular o coeficiente de determinação é:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
De mana:
– SSR (Soma dos Resíduos ao Quadrado) é a soma dos quadrados das diferenças entre os valores previstos pelo modelo e os valores reais.
– SST (Soma Total dos Quadrados) é a soma dos quadrados das diferenças entre o valor real e a média dos valores reais.
Exemplo de problema
Vamos analisar um exemplo para entender melhor o cálculo do coeficiente de determinação.
Exemplo de problema:
Suponha que tenhamos dados sobre o número de horas de estudo (X) e as notas dos exames (Y) de 10 alunos:
| Alunos | Horas de estudo (X) | Nota da prova (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Criaremos um modelo de regressão linear simples onde as notas dos exames (Y) são previstas com base nas horas de estudo (X).
Discussão
1. Construindo um Modelo de Regressão Linear Simples
Um modelo de regressão linear simples tem a seguinte forma:
\[ Y = a + bX \]
De mana:
– \( Y \) é a pontuação prevista no teste.
– \( X \) é o número de horas de estudo.
– \( a \) é a intersecção (o ponto de intersecção no eixo Y quando X = 0).
– \( b \) é a inclinação (coeficiente angular da reta de regressão).
Para calcular os parâmetros \( a \) e \( b \), utilizamos a seguinte fórmula:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
Onde \( n \) é o número de dados (neste caso n = 10).
A partir da tabela podemos calcular:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
Vamos calcular b primeiro:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]
Em seguida, calculamos um:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[uma=56\]
Assim, o modelo de regressão linear que obtemos é:
\[ Y = 56 + 4X \]
2. Calcule o valor previsto (Y')
Em seguida, calculamos o valor previsto \( Y' \) para cada \( X \):
| Alunos | Horas de estudo (X) | Nota da prova (Y) | Nota prevista (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. Cálculo de SSR e SST
Em seguida, calculamos SSR e SST para obter \( R^2 \).
RSS:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
TSM:
\[ TSM = \soma{(Y – \bar{Y})^2} \]
De mana:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Cálculo do coeficiente de determinação (R²):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
Conclusão
A partir do cálculo acima, obtivemos um coeficiente de determinação (R² = 0.59). Isso indica que o modelo de regressão linear que criamos pode explicar aproximadamente 59% da variabilidade nas notas dos exames com base nas horas de estudo. Os 41% restantes da variabilidade podem ser atribuídos a outros fatores não incluídos no modelo.
Ao entendermos os passos e cálculos acima, podemos perceber a importância do coeficiente de determinação na avaliação de quão bem o modelo de regressão que construímos explica a variabilidade real dos dados. É uma ferramenta muito útil em análises estatísticas e modelagem de dados.
