Exemplos de perguntas sobre a função de distribuição binomial
A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve o número de sucessos em um experimento composto por uma série de tentativas independentes com dois resultados possíveis: sucesso e fracasso. Cada tentativa é chamada de ensaio, e a distribuição binomial é frequentemente usada em situações onde o número de sucessos ao longo de uma série de tentativas independentes é de interesse. Neste artigo, discutiremos os conceitos básicos da distribuição binomial e forneceremos exemplos e soluções.
Conceitos básicos da função de distribuição binomial
Antes de abordarmos os exemplos e a discussão, vamos revisar alguns conceitos básicos relacionados à distribuição binomial.
1. Definição: A distribuição binomial é definida como a soma dos sucessos em 'n' tentativas independentes, onde cada tentativa tem dois resultados possíveis: sucesso (com probabilidade p) ou fracasso (com probabilidade q = 1 – p).
2. Função de Probabilidade: A função de probabilidade da distribuição binomial é:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
di mana:
– \( P(X = k) \) é a probabilidade de ter k sucessos em n tentativas.
– \( \binom{n}{k} \) é uma combinação de n tomado k, que é definida como \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \( p \) é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
– \( (1-p) \) é a probabilidade de falha em cada tentativa.
3. Valor Esperado e Variância:
– O valor esperado (média) da distribuição binomial é \( \mu = np \).
– A variância da distribuição binomial é \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Agora, vamos aplicar esses conceitos em um problema de exemplo para proporcionar uma compreensão mais profunda.
Exemplo de questão 1: Cálculos básicos da distribuição binomial
Pergunta :
Uma empresa produz componentes eletrônicos com 0.95% de probabilidade de que cada componente passe em um teste de qualidade. Se 10 componentes forem produzidos, calcule a probabilidade de que exatamente 8 componentes passem no teste de qualidade.
Discussão:
Podemos usar a fórmula da distribuição binomial para resolver este problema. Primeiro, identificamos os seguintes parâmetros:
– \( n \) (número total de tentativas) = 10
– \( k \) (número de sucessos) = 8
– \( p \) (probabilidade de sucesso) = 0.95
– \( q \) (probabilidade de falha) = 1 – 0.95 = 0.05
Em seguida, substitua esses valores na fórmula da distribuição binomial:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Primeiro, calcule a combinação \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Em seguida, calcule as probabilidades \( (0.95)^8 \) e \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 ≈ 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Por fim, multiplique todos esses valores para obter:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 ≈ 0.0744
\]
Assim, a probabilidade de exatamente 8 em cada 10 componentes passarem no teste de qualidade é de aproximadamente 0.0744 ou 7.44%.
Exemplo de questão 2: Probabilidade cumulativa
Pergunta :
Ainda na mesma empresa, calcule a probabilidade de que pelo menos 9 em cada 10 componentes passem no teste de qualidade.
Discussão:
Para resolver este problema, precisamos calcular a probabilidade cumulativa. A probabilidade de que pelo menos 9 dos 10 componentes passem no teste significa que calculamos \( P(X \geq 9) \), que pode ser escrita como:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Utilizando a fórmula da distribuição binomial:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Primeiro, calcule a combinação para cada caso:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Em seguida, calcule as probabilidades para \( P(X = 9) \) e \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 × (0.95)^9 × 0.05
\]
\[
(0.95)^9 ≈ 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 ≈ 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 × (0.95)¹⁰ × 1
\]
\[
(0.95)^{10} ≈ 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Probabilidade total para \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X ≥ 9) = 0.3151 + 0.5987 ≈ 0.9138
\]
Assim, a probabilidade de pelo menos 9 em cada 10 componentes passarem no teste de qualidade é de aproximadamente 0.9138 ou 91.38%.
Exemplo de pergunta 3: Valor esperado e variância
Pergunta :
Calcule o valor esperado e a variância do número de componentes aprovados no teste de qualidade, dentre 10 componentes produzidos, com uma probabilidade de aprovação de 0.95.
Discussão:
Utilize a seguinte fórmula:
– Valor esperado (média) \( \mu = np \)
– Variância \( \sigma^2 = np(1-p) \)
Com \( n = 10 \) e \( p = 0.95 \):
\[
μ = 10 × 0.95 = 9.5
\]
\[
σ² = 10 × 0.95 × 0.05 = 0.475
\]
Assim, o valor esperado do número de componentes aprovados no teste de qualidade é 9.5, e a variância é 0.475.
Conclusão
Por meio dos três exemplos acima, discutimos como calcular a probabilidade usando a distribuição binomial em diversas situações: cálculo da probabilidade exata, da probabilidade acumulada e do valor esperado e da variância. O conhecimento da distribuição binomial é útil em diversas áreas, como manufatura, pesquisa médica e estatística social, onde os resultados de experimentos repetidos com dois resultados possíveis podem ser analisados para auxiliar na tomada de decisões. Esperamos que os exemplos e as discussões apresentados contribuam para aprofundar sua compreensão da distribuição binomial.
