Exemplo de uma questão para discussão sobre distribuição normal.
A distribuição normal, também conhecida como distribuição gaussiana, é a distribuição de probabilidade mais comumente usada em estatística. Essa distribuição tem um formato simétrico de sino, indicando que os dados estão organizados em torno da média e a probabilidade de valores extremos (muito distantes da média) é baixa.
Neste artigo, discutiremos vários exemplos de problemas envolvendo a distribuição normal e como resolvê-los. Começaremos apresentando alguns conceitos básicos e, em seguida, abordaremos exemplos mais complexos.
Noções básicas da distribuição normal
A distribuição normal é uma distribuição contínua com dois parâmetros: a média e o desvio padrão (DP). A média determina o centro da distribuição, enquanto o desvio padrão determina a amplitude da distribuição.
Características importantes da distribuição normal:
1. Simetria: A distribuição normal é simétrica em relação à média.
2. Regra Empírica (Regra Empírica):
– Cerca de 68% dos dados estão dentro de um desvio padrão da média.
– Aproximadamente 95% dos dados estão dentro de dois desvios padrão da média.
– Aproximadamente 99.7% dos dados estão dentro de três desvios padrão da média.
Contoh Soal e Pembahasan
Exemplo de pergunta 1: Calculando o escore Z
Pergunta: Uma prova tem uma média de 70 pontos e um desvio padrão de 10. Um aluno obteve 80 pontos. Qual é o escore Z desse aluno?
Solução:
O escore Z é uma medida de quantas unidades de desvio padrão um valor está da média.
Fórmula do escore Z:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Onde:
– \( X \) é o valor observado.
– \( \mu \) é a média.
– \( \sigma \) é o desvio padrão.
Isso é conhecido:
– \( X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
Aplicação da fórmula:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Assim, o escore Z do aluno é 1, o que significa que uma pontuação de 80 está um desvio padrão acima da média.
Exemplo de questão 2: Probabilidade de um determinado valor
Pergunta: Em uma distribuição normal com média 100 e desvio padrão 15, qual é a probabilidade de encontrar um valor abaixo de 85?
Solução:
Os passos:
1. Calcule o escore Z para o valor \( X = 85 \):
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Use uma tabela Z ou uma calculadora estatística para encontrar a probabilidade correspondente a um escore Z de -1. Em uma tabela Z, a probabilidade de um escore Z de -1 é aproximadamente 0.1587.
Assim, a probabilidade de encontrar um valor abaixo de 85 é de 0.1587 ou 15.87%.
Exemplo de questão 3: Usando regras empíricas
Pergunta: Sabe-se que a distribuição das notas dos exames de matemática nas escolas segue uma distribuição normal com média de 75 e desvio padrão de 8. Qual a proporção de alunos que obtiveram notas entre 67 e 83?
Solução:
Langkah-langkah:
1. Calcule o escore Z para os valores 67 e 83:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. De acordo com regras empíricas, valores entre -1 desvio padrão e +1 desvio padrão da média abrangem cerca de 68% da população.
Assim, a proporção de alunos que obtiveram pontuação entre 67 e 83 foi de aproximadamente 68%.
Exemplo de questão 4: Calculando valores a partir de percentis
Pergunta: Se a altura média de homens adultos em um país é de 175 cm com um desvio padrão de 7 cm, qual é a altura correspondente ao percentil 90?
Solução:
Langkah-langkah:
1. Encontre o escore Z correspondente ao percentil 90. Com base na tabela Z, o escore Z mais próximo de 0.9000 é aproximadamente 1.28.
2. Use a fórmula para calcular o valor de \( X \):
\[ X = \mu + Z \times \sigma \]
\[ X = 175 + 1.28 \times 7 \]
\[ X = 175 + 8.96 \]
\[ X = 183.96 \]
Assim, a altura no percentil 90 é em torno de 183.96 cm.
Exemplo de questão 5: Probabilidade de um determinado intervalo
Pergunta: Dado que a distribuição dos pesos dos recém-nascidos segue uma distribuição normal com média de 3.5 kg e desvio padrão de 0.5 kg, qual é a probabilidade de um bebê pesar entre 3 kg e 4 kg?
Solução:
Langkah-langkah:
1. Calcule o escore Z para os valores de 3 kg e 4 kg:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. A probabilidade de um escore Z entre -1 e 1, com base na tabela Z, é de aproximadamente 0.6826 ou 68.26%.
Assim, a probabilidade de um bebê pesar entre 3 kg e 4 kg é de aproximadamente 68.26%.
Conclusão
A distribuição normal é um conceito fundamental em estatística, crucial e com diversas aplicações práticas. Neste artigo, explicamos os conceitos básicos da distribuição normal e resolvemos vários exemplos para aprofundar nossa compreensão.
Compreender a distribuição normal é importante não só para a estatística, mas também para diversas áreas práticas, como psicologia, economia e outras ciências sociais. Com prática suficiente, resolver problemas de distribuição normal pode se tornar mais intuitivo e auxiliar na tomada de decisões baseada em dados.
