Ruch pocisku

Artykuł o ruchu pocisku i przykładowe zadania z rozwiązaniami

Prędkość początkowa (v_o) i składową prędkości początkowej (v_ox i v_oy)

Obiekt, którego ruchy paraboliczne zawsze mają prędkość początkową. Ponieważ ruch paraboliczny jest połączeniem ruchów w kierunku poziomym i pionowym, prędkość początkowa ma również składowe poziomą i pionową.

Jeżeli obiekt porusza się parabolicznie, jak na rysunkach 1 i 3, to początkową prędkość w kierunku poziomym (vox ₎ i początkową prędkość w kierunku pionowym (voy ₎ oblicza się przy użyciu równania:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Jeżeli obiekt porusza się parabolicznie jak na rysunku 2, to v _o = v _ox (v _oy = 0)

Prędkość (v_x i v_y) i pozycja (x i y)

Prędkość w kierunku poziomym i pionowym w pewnym odstępie czasu oblicza się przy użyciu równania:

v _x = v _ox = stały ( ruch jednostajny liniowy )

v _y = v _oy + gt lub v _y ² = v _oy ² + 2 gh (ruch swobodnego spadania)

Położenie obiektów w kierunku poziomym (x) i pionowym (y) w pewnym odstępie czasu oblicza się przy użyciu równania:

x = v _ox t

y = voyt ₊ 1⁄2 ^gt2

Wypadkowa prędkości (v) i położenia (h)

Prędkość wypadkową w określonym przedziale czasu oblicza się przy użyciu równania:

Kierunek obiektów w pewnym odstępie czasu oblicza się przy użyciu równania:

Uwagi:

1. Składowa pozioma ruchu parabolicznego jest uważana za ruch jednostajny liniowy, więc vox = vx jest zawsze stała

2. Składowa pionowa ruchu parabolicznego jest postrzegana jako ruch swobodnego spadania, więc jeśli obiekt porusza się parabolicznie, jak na rysunkach 1 i 3, składowa pionowa prędkości obiektu na maksymalnej wysokości wynosi zero (v _y = 0). Jeśli rzucimy kulkę pionowo w górę na maksymalną wysokość, obiekt na chwilę spocznie (v _y = 0), zanim obróci się w dół. Zatem prędkość obiektu poruszającego się parabolicznie na maksymalnej wysokości wynosi = v _x = v _ox

3. Jeśli obiekt porusza się parabolicznie, jak pokazano na rysunku 2, składowa pionowa ruchu parabolicznego jest postrzegana jako ruch swobodnego spadku. Jeśli obiekt porusza się parabolicznie, jak pokazano na rysunkach 1 i 3, składowa pionowa ruchu parabolicznego jest postrzegana jako ruch pionowy w górę.

Przykładowe problemy:

1. Pocisk wystrzelono w kierunku poziomym z prędkością początkową 20 m/s. Jeśli pistolet znajduje się 5 metrów nad ziemią, określ:

(a) czas spędzony w powietrzu

(b) maksymalna wysokość

(c) odległość pozioma

(d) prędkość pocisku w momencie uderzenia w ziemię

Rozwiązanie:

Ruch w kierunku poziomym analizuje się jak ruch jednostajny liniowy, natomiast ruch w kierunku pionowym analizuje się jak ruch swobodnego spadku.

Znany:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s ²

a) Czas spędzony w powietrzu

Rozwiązaniem jest wyznaczenie przedziału czasu (t) w ruchu swobodnego spadania.

Znane: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s ²

Poszukiwany: t

b) Maksymalna wysokość

Maksymalna wysokość = h = 5 metrów.

c) Odległość pozioma (d)

Rozwiązanie jest takie samo, jak określenie odległości w ruchu jednostajnym liniowym

Znane: v _ox = 20 m/s, t = 1 sekunda

Poszukiwany: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Prędkość w momencie uderzenia kuli o ziemię

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Najpierw obliczamy prędkość końcową w kierunku pionowym (vty). Rozwiązanie jest podobne do określenia prędkości końcowej ruchu swobodnego spadania.

Znane: v _oy = 0, g = 9.8 m/s ² , t = 1 s

Poszukiwany: v _ty

v _t = vo ₊ gt —> vo = 0

vt = _gt

vt ₌ (9.8 m/s2 ⁾ (1 s)

vt = 9.8 m/ _s

Prędkość kuli w momencie uderzenia w ziemię:

Kierunek pocisku:

Ponieważ v _tx jest w kierunku dodatniej osi x (w prawo), a v _ty jest w kierunku ujemnej osi y (w dół),

kierunek pocisku w momencie uderzenia w ziemię wynosi -26.1o ^względem dodatniej osi x (patrz rysunek poniżej).

2. Armata wystrzeliła pocisk pod kątem 30 ^° do poziomu z prędkością 60 m/s. Określ:

(a) maksymalna wysokość

(b) prędkość pocisku na maksymalnej wysokości

(c) czas spędzony w powietrzu

(d) odległość pozioma

(e) prędkość pocisku w momencie uderzenia w ziemię. Załóżmy, że ziemia jest płaska. 🙂

Rozwiązanie:

Ruch w kierunku poziomym analizuje się jak ruch jednostajny liniowy, natomiast ruch w kierunku pionowym analizuje się jak ruch pionowy w górę.

Znane: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Na podstawie znanych danych obliczamy najpierw składową pionową ( _voy ) i poziomą ( _vox ) prędkości początkowej (vo ₎.

a) Maksymalna wysokość (h)

Rozwiązanie jest takie samo, jak określenie maksymalnej wysokości ruchu pionowego w górę.

Znany:

v _wół = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Maksymalna wysokość (h)

Rozwiązanie jest takie samo, jak określenie maksymalnej wysokości przy ruchu pionowym w górę.

Znany:

v _oy = 30 m/s (jest to początkowa prędkość pocisku)

v _ty = 0 m/s (Na maksymalnej wysokości pionowa prędkość pocisku = 0 m/s. Jest to prędkość końcowa.)

g = – 9.8 m/ ^s2

Poszukiwany: h

v _t ² = vo ₂ ⁺ 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) godz.

0 = 900 – 19.6 godz.

900 = 19.6 godzin

h = 900 / 19.6

h = 45.9 metrów

Maksymalna wysokość, jaką osiągnął pocisk, wynosi 45.9 metrów.

b) Prędkość na maksymalnej wysokości

Na maksymalnej wysokości prędkość w kierunku pionowym wynosi 0 m/s. Na maksymalnej wysokości występuje tylko prędkość w kierunku poziomym. Prędkość w kierunku poziomym na maksymalnej wysokości jest równa prędkości początkowej w kierunku poziomym, która wynosi 52.2 m/s. Kierunek prędkości w kierunku poziomym jest zawsze stały, tj. w kierunku dodatniej osi x (jeśli ruch obiektu jest opisany na powyższym schemacie).

c) Czas w powietrzu

Rozwiązanie jest takie samo, jak określenie przedziału czasu (t) w dyskusji o ruchu pionowym w górę.

Znany:

v _oy = 30 m/s (jest to początkowa prędkość pocisku w kierunku pionowym)

g = – 9.8 m/ ^s2

h = 0 m (gdy pocisk powraca na ziemię, przemieszczenie pocisku w kierunku pionowym = 0 m)

Poszukiwany: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s ² ) t ²

0 = (30) t – 4.9 ^t2

(30) t = 4.9 ^t2

30 = 4.9 tony

t = 30 / 4.9

t = 6.12 sekundy

Czas w powietrzu = 6.12 sekundy

d) Odległość pozioma (d)

Rozwiązanie jest takie samo jak określenie odległości (d) w ruchu jednostajnym liniowym.

Znany:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 sekundy

Poszukiwany: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 sekundy) = 319.5 m

e) Prędkość w momencie uderzenia kuli o ziemię

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Najpierw obliczamy prędkość końcową w kierunku pionowym (v _ty ). Rozwiązaniem jest określenie prędkości końcowej w ruchu pionowym w górę.

Poszukiwane: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s ² , t = 6.12 sekundy

Poszukiwany: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Znak ujemny oznacza, że ​​prędkość końcowa jest skierowana w dół. Należy pamiętać, że prędkość początkowa w kierunku pionowym jest równa prędkości końcowej w kierunku pionowym.

Prędkość kuli w momencie uderzenia w ziemię:

Kierunek pocisku:

Ponieważ v _tx jest w kierunku dodatniej osi x (w prawo), a vty jest w kierunku ujemnej osi y (w dół),

kierunek prędkości pocisku w momencie uderzenia w ziemię wynosi -30 ^° względem dodatniej osi x (patrz rysunek poniżej).

3. Piłkę rzucono z krawędzi 50-metrowego budynku z prędkością początkową 10 m/s. Jeśli piłkę rzucono pod kątem 30° względem poziomu, określ:

(a) odstęp czasu, w którym piłka dotrze do ziemi

(b) prędkość piłki w momencie uderzenia o ziemię

(c) odległość poziomą, jaką może osiągnąć piłka, mierzy się od krawędzi budynku

(d) maksymalna wysokość, jaką osiągnie piłka

Rozwiązanie:

Najpierw obliczamy składową pionową ( _voy ) i składową poziomą (vox ₎ prędkości początkowej (vo ₎.

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Czas, w którym piłka dotrze do ziemi

Rozwiązanie jest podobne do określenia przedziału czasu (t) w ruchu pionowym w górę. Moduł wektora o kierunku w górę jest wybierany jako dodatni, a moduł wektora o kierunku w dół jako ujemny. Punkt odniesienia stanowi miejsce, w którym piłka została rzucona. Wartość h jest ujemna, ponieważ powierzchnia ziemi znajduje się poniżej punktu odniesienia, a wartość g jest ujemna, ponieważ kierunek przyspieszenia grawitacyjnego jest skierowany w dół.

Znany:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/s ²

Poszukiwany: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 ton – 4.9 tony ²

-4.9 t2 ⁺ 5 t+ 5 = 0

Użyj wzoru kwadratowego:

Czas w powietrzu = czas, jaki upłynął od momentu rzucenia piłki do momentu dotknięcia ziemi = 1.64 sekundy.

b) Prędkość piłki w momencie uderzenia o powierzchnię ziemi

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Najpierw obliczamy prędkość końcową w kierunku pionowym (v _ty ). Rozwiązanie jest takie samo, jak w przypadku wyznaczania prędkości końcowej w ruchu pionowym w górę.

Znane: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s ² , t = 1.64 sekundy

Poszukiwany: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Znak ujemny oznacza, że ​​prędkość końcowa zmierza w dół.

Prędkość kuli w momencie uderzenia w ziemię:

Kierunek prędkości pocisku = kierunek ruchu pocisku w momencie uderzenia w ziemię:

Prędkość kuli w momencie uderzenia w ziemię:

Ponieważ vtx znajduje się w kierunku dodatniej osi x (w prawo), a vty w kierunku ujemnej osi y (w dół),

kierunek pocisku w momencie uderzenia w ziemię wynosi -52o względem dodatniej osi x (patrz rysunek poniżej).

c) Odległość poziomą, jaką może osiągnąć piłka, mierzy się od krawędzi budynku

Rozwiązanie jest takie samo, jak określenie odległości przebytej (d) w ruchu jednostajnym liniowym.

Znane: t = 1.64 sekundy, v _x = 8.7 m/s

Poszukiwany: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Maksymalna wysokość, jaką osiągnęła piłka

Znane są: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( składowa pionowa prędkości na maksymalnej wysokości = 0 m/s), g = -9.8 m/s ².

Poszukiwany: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ² + 2(-9.8 m/s ² )(h)

0 m/s = 25 (m/s) ² + (-19.6 m/s ² )(h)

25 (m/s) ² = -19.6 m/s 2 (godzina)

h = 25 (m/s) ² : -19.6 m/s ² = 1.3 metra

Maksymalna wysokość, na jaką wzniosła się piłka, wynosi = 1.3 metra nad szczytem budynku = 1.3 m + 50 m = 51.3 metra nad powierzchnią ziemi.