Nazywa się je równaniem Poiseuille'a, ponieważ zostało odkryte przez nieżyjącego już Jeana Louisa Marie Poiseuille'a (1799-1869). Jak wyjaśniono, każdy płyn można uznać za płyn idealny. Płyny idealne nie mają lepkości. Jeśli wyobrazimy sobie płyn idealny płynący w rurze, każda jego część porusza się z tą samą prędkością (v). W przeciwieństwie do płynów idealnych, płyny rzeczywiste, czyli płyny, z którymi spotykamy się w życiu codziennym, mają lepkość. Z uwagi na lepkość, na przykład podczas przepływu w rurze, prędkość każdej części płynu jest zmienna. Warstwa płynu w środku porusza się szybciej (v jest duże), podczas gdy warstwa płynu przylegająca do rury nie porusza się, czyli jest nieruchoma (v = 0). Zatem od środka do krawędzi rury każda część płynu porusza się z inną prędkością. Aby ułatwić Ci zrozumienie, spójrz na poniższy obrazek…
Keterangan:
R = promień rury/rury
v1 = natężenie przepływu płynu w środku/osi rury
v2 = natężenie przepływu płynu w odległości r2 od krawędzi rury
v3 = natężenie przepływu płynu w odległości r3 od krawędzi rury
v4 = natężenie przepływu płynu w odległości r4 od krawędzi rury
r = odległość
Aby zapewnić jednakowe natężenie przepływu każdej cieczy, musi występować różnica ciśnień na obu końcach rury lub przewodu, przez który przepływa ciecz. Przez ciecz rozumiemy tu ciecze rzeczywiste, takie jak woda lub olej przepływające przez rurę, krew przepływająca przez naczynia krwionośne itp. Oprócz wspomagania płynnego przepływu cieczy rzeczywistej, różnice ciśnień mogą również umożliwiać przepływ cieczy w rurach na różnych wysokościach.
Jean Louis Marie Poiseuille, były francuski naukowiec zainteresowany fizycznymi aspektami krążenia krwi u człowieka, przeprowadził badania mające na celu zbadanie, jak czynniki takie jak różnice ciśnień, pole przekroju poprzecznego rurki i jej rozmiar wpływają na prędkość rzeczywistego płynu. Wyniki uzyskane przez Jeana Louisa Marie Poiseuille'a znane są jako równanie Poiseuille'a.
Równanie Poiseuille'a można wyprowadzić, korzystając z wcześniej wyprowadzonego równania współczynnika lepkości. Używamy równania lepkości, ponieważ przypadek jest podobny, choć nie identyczny. Wyprowadzając równanie współczynnika lepkości, rozważamy przepływ rzeczywistej warstwy płynu między dwiema równoległymi płytami, a płyn może się poruszać pod wpływem siły rozciągającej (F). Różnica polega na tym, że wyprowadzone przez nas równanie Poiseuille'a faktycznie określa czynniki wpływające na przepływ rzeczywistego płynu w rurze/przewodzie, a płyn płynie pod wpływem różnic ciśnień. Dlatego równanie współczynnika lepkości wymaga ponownej korekty.
Płyny mogą płynąć z powodu różnic ciśnień (płyny przepływają z miejsc o wyższym ciśnieniu do miejsc o niższym ciśnieniu), dlatego zastępujemy F przez p1 - P2 (p1 > p2).
Wyprowadzając równanie współczynnika lepkości, rozważamy przepływ rzeczywistej warstwy płynu między dwiema równoległymi płytkami. Każda porcja płynu doświadcza regularnej zmiany prędkości o odległość l. W tym przypadku natężenie przepływu płynu zmienia się regularnie od osi rury do jej krawędzi. Płyn przy osi rury płynie z większą prędkością (v). Im dalej w kierunku krawędzi, tym prędkość płynu maleje. Promień rury = odległość między osią rury a krawędzią rury = R. Odległość między każdą porcją płynu a krawędzią rury = r. Ponieważ liczba każdej porcji płynu jest bardzo duża, a ich odległość od krawędzi rury również się zmienia, zapisujemy to po prostu w następujący sposób:
v1 = prędkość płynu w odległości r1 od krawędzi rury (r1 = R)
v2 = prędkość cieczy w odległości r2 od krawędzi rury (r2 < r1)
v3 = prędkość cieczy w odległości r3 od krawędzi rury (r3 < r2 < r1)
v4 = prędkość cieczy w odległości r4 od krawędzi rury (r4 < r3 < r2 < r1)
............................................. ..
vn = prędkość płynu w odległości rn od krawędzi rury (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )
Liczba każdej części cieczy jest bardzo duża i nie wiemy dokładnie, ile dokładnie jej jest, więc wystarczy zapisać ją symbolem n. Każda część cieczy regularnie doświadcza zmiany prędkości (v) od osi rury (r1 = R) do krawędzi rury (rn). Od osi rury (r1 = R) do krawędzi rury (rn) prędkość każdej części cieczy maleje (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Z powyższego wyjaśnienia możemy wywnioskować, że od R do rn natężenie przepływu cieczy maleje. Długość rury = L. Otrzymane równanie to:
Ponieważ rozważamy szybkość (v) przepływu płynu, równanie 2 przyjmuje postać:
Oto równanie określające natężenie przepływu cieczy w odległości r od rury o promieniu R. Jeśli patrząc na powyższy obrazek czujesz się zdezorientowany... Pamiętaj, że ciecz przepływa w rurze lub przewodzie, więc musimy przeanalizować natężenie przepływu objętości cieczy.
Wewnątrz rurki znajduje się płyn. Na przykład dzielimy płyn na bardzo małe fragmenty, z których każdy ma powierzchnię jednostkową dA, jest oddalony od osi rurki i charakteryzuje się natężeniem przepływu v. Matematycznie można to zapisać następująco:
dA1 = odcinek cieczy 1, który jest odległością 1 od osi rury
dA2 = odcinek cieczy 2, który jest odległością 2 od osi rury
dA3 = odcinek cieczy 3, który jest odległością 3 od osi rury
..................................
dA n = przekrój cieczy n, który jest odległością dA n od osi rury
Istnieje tak wiele elementów cieczy, że wygodnie jest po prostu zapisać je symbolem n. Objętościowe natężenie przepływu każdej części cieczy można zapisać matematycznie w następujący sposób:
Każda część cieczy znajduje się w odległości od r = 0 do r = R (R = promień rury). Innymi słowy, odległość każdej części cieczy zmienia się mierząc od osi rury. Jeśli poeksperymentujemy z rachunkiem całkowym, otrzymamy równanie na natężenie przepływu objętości cieczy w rurze:
Keterangan:
Q = Debet
R = Promień wewnętrzny rury lub rurki
η = współczynnik lepkości
P1 - P2 = Różnica ciśnień między dwoma końcami rury
L = Długość rury
p1-p2/L = Gradient ciśnienia (przepływ cieczy zawsze odbywa się w kierunku malejącego ciśnienia)
Na podstawie powyższego równania Poiseuille'a wydaje się, że objętościowy przepływ cieczy, czyli wydatek (Q), jest proporcjonalny do czwartej potęgi promienia rury (R).4), gradient ciśnienia (p2 - P1 /L) i jest odwrotnie proporcjonalna do lepkości. Jeśli promień rury zostanie zwiększony (współczynnik lepkości i gradient ciśnienia pozostaną stałe), wówczas natężenie przepływu cieczy wzrośnie szesnastokrotnie.
Podstawowa koncepcja projektowania rur, strzykawek itp. opiera się na tym równaniu. Wydatek cieczy jest proporcjonalny do R4 (R = promień rurki). Promień strzykawki lub promień rurki należy dokładnie obliczyć. Na przykład, jeśli podwoimy promień igły (r x 2), wówczas wypływ rozpylanej cieczy = zwiększy siłę nacisku kciuka 16-krotnie.
Równanie Poiseuille’a pokazuje również, że czwarta potęga promienia (r4), jest odwrotnie proporcjonalna do różnicy ciśnień między dwoma końcami rury. Na przykład, początkowo krew przepływa przez naczynie krwionośne o promieniu wewnętrznym r. Jeśli nastąpi zwężenie naczynia krwionośnego (na przykład r/2 = promień wewnętrzny naczynia krwionośnego zmniejszy się dwukrotnie), potrzebna jest 16-krotna różnica ciśnień, aby krew płynęła jak poprzednio (tak aby natężenie przepływu krwi pozostało stałe).
