Materiał na równanie ciągłości
Spróbuj powoli otworzyć kran, obserwując jednocześnie przepływ wody. Gdy kran przestanie się kręcić, częściowo zablokuj go ręką. Teraz porównaj, który przepływ wody jest większy. Przy częściowym zablokowaniu czy odblokowaniu? Jeśli masz wąż, którego zwykle używasz do podlewania kwiatów, pozwól wodzie przez niego przepłynąć. Częściowo zablokuj wąż ręką lub palcem. Im większa część węża jest zablokowana, tym szybciej woda wypłynie. I odwrotnie, jeśli wąż nie jest zablokowany, woda będzie płynąć wolniej. Dlaczego tak jest? Aby to zrozumieć, przeanalizuj równanie ciągłości.
Linie prądu i rury przepływowe
Najpierw przyjrzyjmy się koncepcjom linii prądu i rur przepływowych. Ta koncepcja jest ważna, ponieważ pomoże Ci zrozumieć równanie ciągłości.
Linia strumieniowa
Spójrz na poniższy obrazek - niebieska linia to linia prądu.
W przepływie ustalonym prędkość każdej cząstki cieczy w punkcie, powiedzmy, A, pozostaje stała. Podczas przechodzenia przez punkt B prędkość cząstek cieczy może się zmieniać. Jednakże po dotarciu do punktu B cząstki cieczy podążające za nimi nadal płyną z tą samą prędkością, co cząstki cieczy, które je poprzedzały. To samo dotyczy dotarcia do punktu C itd. Linia prądu to krzywa łącząca punkty A, B i C.
Rura przepływowa
Zasadniczo, każdą linię prądu możemy narysować przez każdy punkt w przepływie cieczy. Jeśli weźmiemy pod uwagę ustalony przepływ cieczy, szereg linii prądu przechodzących pod pewnym kątem na wyimaginowanej powierzchni (wyimaginowanym polu powierzchni) tworzy rurę przepływową. Żadne cząsteczki cieczy nie przecinają się, ale są zawsze równoległe, a rura przepływowa będzie przypominać rurę o zawsze tym samym kształcie. Ciecz wpływająca jednym końcem rury będzie wypływać drugim końcem.
Obciążenie
Wydatek oznacza objętość cieczy przepływającej przez określony przekrój poprzeczny w określonym przedziale czasu. Matematycznie można to wyrazić następująco:
Aby lepiej to zrozumieć, posłużmy się przykładem. Załóżmy, że ciecz przepływa przez rurę. Rury są zazwyczaj cylindryczne i mają określoną powierzchnię przekroju poprzecznego. Rura ma również określoną długość.
Gdy ciecz przepływa rurą do punktu L, objętość cieczy w rurze wynosi V = AL (V = objętość cieczy, A = pole przekroju poprzecznego, a L = długość rury). Ponieważ podczas przepływu w rurze wzdłuż punktu L ciecz pokonuje pewien odcinek czasu, możemy stwierdzić, że natężenie przepływu cieczy wynosi:
Ponieważ v = s/t = L/t —> L = vt, powyższe równanie zmieniamy na:
Zatem gdy ciecz przepływa przez rurę o określonej powierzchni przekroju poprzecznego i długości przez określony przedział czasu, wielkość przepływu cieczy (Q) jest równa powierzchni przekroju poprzecznego (A) pomnożonej przez prędkość przepływu cieczy (v).
Równanie ciągłości
Rozważmy przepływ cieczy w rurze o różnych średnicach, jak pokazano na poniższym rysunku.
Na tym zdjęciu widać przepływ cieczy z lewej do prawej (ciecz przepływa z rury o dużej średnicy do rury o małej średnicy). Linie przerywane to linie prądu.
Podpis pod obrazkiem: A 1 = pole przekroju poprzecznego odcinka rury o dużej średnicy, A 2 = pole przekroju poprzecznego odcinka rury o małej średnicy, v 1 = prędkość przepływu płynu w odcinku rury o dużej średnicy, v 2 = prędkość przepływu płynu w odcinku rury o małej średnicy, L = odległość przebyta przez płyn.
We wprowadzeniu do dynamiki płynów wyjaśniono, że w dynamice płynów omawiamy przepływ płynów nieściśliwych, nielepkich, nieturbulentnych i ustalonych. W przepływie ustalonym prędkość cząstek płynu w punkcie jest taka sama jak prędkość pozostałych cząstek płynu przechodzących przez ten punkt. Przepływy płynu również się nie przecinają (linie prądu są równoległe). Zatem masa płynu wpływającego do jednego końca rury musi być równa masie płynu wypływającego z drugiego końca. Jeśli płyn o określonej masie wpłynie do rury o dużej średnicy, to płyn wypłynie z rury o małej średnicy i stałej masie.
Teraz spójrz na zdjęcie rury powyżej. Spójrz na część rury o większej średnicy i na część o mniejszej średnicy.
W pewnym odstępie czasu przez odcinek rury o dużej średnicy (A) przepływa pewna ilość płynu.1) jeśli chodzi o L1 (L1 = v1 t). Objętość przepływającego płynu wynosi V1 = A1 L1 = A1 v1 t. W tym samym przedziale czasu inna ilość płynu przepływa przez odcinek rury o mniejszej średnicy (A).2) jeśli chodzi o L2 (L2 = v2 t). Objętość przepływającego płynu wynosi V2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Równanie ciągłości dla płynów nieściśliwych (nieściśliwe)
Rozważmy najpierw przypadek płynu nieściśliwego. W płynie nieściśliwym gęstość, czyli masa, jest zawsze taka sama w każdym punkcie, przez który przepływa. Masa płynu przepływającego w rurze o polu przekroju poprzecznego A1 ( większa średnica rury) w określonym przedziale czasu wynosi:
Podobnie masa cieczy płynącej w rurze o przekroju poprzecznym A2 ( mała średnica rury) w pewnym przedziale czasu wynosi:
Biorąc pod uwagę, że w przepływie ustalonym masa płynu wchodzącego jest taka sama jak masa płynu wychodzącego, wówczas:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (gęstość płynu i odstęp czasu są takie same, więc się znoszą)
A 1 na 1 = A 2 na 2
Dlatego w przypadku płynów nieściśliwych obowiązuje równanie ciągłości:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Równanie 1
Keterangan:
A 1 = pole przekroju poprzecznego 1, A 2 = pole przekroju poprzecznego 2, v 1 = prędkość przepływu cieczy w przekroju poprzecznym 1, v 2 = prędkość przepływu cieczy w przekroju poprzecznym 2, A v = natężenie przepływu objętościowego V/t, czyli wypływ
Równanie 1 pokazuje, że objętościowe natężenie przepływu, znane również jako natężenie przepływu, jest zawsze takie samo w każdym punkcie rury lub rury przepływowej. Wraz ze zmniejszaniem się przekroju poprzecznego rury, natężenie przepływu płynu rośnie; i odwrotnie, wraz ze wzrostem przekroju poprzecznego rury, natężenie przepływu płynu maleje.
Gdy kran jest częściowo zatkany, przepływ wody staje się szybszy niż przy częściowym zamknięciu. Dzieje się tak, ponieważ powierzchnia przekroju poprzecznego kranu zmniejsza się, gdy kran jest częściowo zamknięty, co zwiększa prędkość przepływu wody (płyn płynie szybciej). To samo dotyczy węży. Należy jednak pamiętać, że natężenie przepływu, czyli objętość, pozostaje takie samo we wszystkich punktach na trasie przepływu wody, niezależnie od tego, czy kran jest częściowo zamknięty, czy nie. Zmienia się zatem natężenie przepływu płynu.
A co z przepływem wody w rzece? Głębsze odcinki rzeki mają większy przekrój poprzeczny niż płytsze, więc natężenie przepływu wody w głębszych odcinkach jest niższe niż w płytszych. Jeśli widzisz bardzo spokojny nurt rzeki, oznacza to, że jest ona głęboka. Ale jeśli rzeka nagle staje się wartka, ten odcinek jest zdecydowanie płytki. Jednak natężenie przepływu wody jest zawsze takie samo, niezależnie od tego, czy na głębokich, czy spokojnych odcinkach rzeki.
Równanie ciągłości dla płynów ściśliwych (ściśliwy)
W przypadku płynów ściśliwych , gęstość płynu nie zawsze jest taka sama. Innymi słowy, gęstość płynu zmienia się pod wpływem ściskania. Podczas gdy w przypadku płynów nieściśliwych gęstość płynu jest eliminowana z równania , w tym przypadku gęstość płynu jest nadal uwzględniana. Odnosząc się do wcześniej wyprowadzonego równania, wyprowadźmy równanie dla płynów ściśliwych.
Biorąc pod uwagę, że w przepływie ustalonym masa płynu wchodzącego jest taka sama jak masa płynu wychodzącego, wówczas:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
Przedział czasowy przepływu płynu jest taki sam, więc można go wyeliminować. Równanie zmienia się na:
ρ ZA 1 v 1 = ρ ZA 2 v 2 → Równanie 2
Oto równanie dla płynu ściśliwego. Jedyna różnica polega na gęstości płynu. Gdy płyn jest ściskany, jego gęstość ulega zmianie. I odwrotnie, gdy płyn jest nieściśliwy, jego gęstość pozostaje stała i można ją zredukować.
Przykładowe pytanie 1:
Woda przepływa przez rurę o średnicy 10 cm z prędkością 2 m/s. Jaki jest przepływ wody?
Pembahasan
Wiadomo, że:
Średnica rury = 10 cm (jest to średnica wewnętrzna rury)
Promień rury (r) = 5 cm = 0,05 m
v woda = 2 m/s
Zapytano: Debet
Jawab:
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) 2 (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m2 ) (2 m/s)
Q = 0,0157 m3 / s
Przykładowe pytanie 2:
Rura wodna o średnicy 20 cm jest podłączona do innej rury o średnicy 10 cm. Jeśli natężenie przepływu wody w rurze o średnicy 20 cm wynosi 4 m/s, jakie jest natężenie przepływu wody w rurze o średnicy 10 cm?
Pembahasan
Wiadomo, że:
Średnica 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0,1 m)
v1 = 4 m/s
Średnica 2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0,05 m)
Zapytano: v 1
Jawab:
Pytanie 1 = Pytanie 2
A 1 na 1 = A 2 na 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) 2 (4 m/s) = (0,05 m) 2 (v 2 )
(0,01 m2 ) (4 m/s) = (0,0025 m2 ) ( v2 )
(0,04 m3 / s) = (0,0025 m2 ) ( v2 )
v2 = 16 m/s
