Jak obliczyć odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe jest jedną z najczęściej stosowanych miar statystycznych określających, jak bardzo dane „rozbiegają się” od średniej. W praktyce odchylenie standardowe pomaga nam zrozumieć stabilność lub zmienność danego zjawiska: na przykład zmienności wyników testów, wahań sprzedaży, różnic we wzroście, a nawet ryzyka związanego z danymi finansowymi. Im mniejsze odchylenie standardowe, tym dane są bliższe średniej. Z kolei duże odchylenie standardowe wskazuje, że dane są dalekie od średniej i charakteryzują się dużą zmiennością.
W tym artykule omówimy znaczenie odchylenia standardowego, stosowany do tego wzór oraz kroki umożliwiające jego ręczne obliczenie na podstawie łatwych do zrozumienia przykładów.
1. Definicja odchylenia standardowego
Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji. Sama wariancja to średnia kwadratów różnic między każdym punktem danych a średnią. Dlaczego stosuje się kwadrat? Ponieważ różnice między punktami danych a średnią mogą być ujemne lub dodatnie. W przypadku bezpośredniego dodania, różnice ujemne i dodatnie mogą się wzajemnie znosić, dając mylące wyniki. Podniesienie różnic do kwadratu sprawia, że wszystkie wartości stają się dodatnie, co pozwala na dokładniejszy pomiar rozkładu danych.
Po prostu:
– Wariancja = miara rozrzutu w jednostkach „kwadratowych”.
– Odchylenie standardowe = miara rozrzutu, która powróciła do pierwotnych jednostek danych.
Przykład: jeśli dane mają formę wyników testów (jednostek punktowych), wariancja będzie wyrażona w punktach, a odchylenie standardowe również będzie wyrażone w punktach, co ułatwia interpretację.
2. Odchylenie standardowe populacji i próby
Przed przystąpieniem do obliczeń ważne jest, aby wiedzieć, jakim typem danych dysponujesz:
1. Populacja: dane obejmują wszystkich członków, którzy mają być objęci badaniem.
Wzór na odchylenie standardowe populacji wykorzystuje dzielnik N (liczba danych).
2. Próba: dane stanowią tylko część populacji, zwykle służą do reprezentowania większej populacji.
Wzór na odchylenie standardowe próby wykorzystuje dzielnik (n − 1) do korygowania błędu oszacowania. Ta korekta nazywa się korektą Bessela.
W codziennej praktyce (np. w badaniach, ankietach, analizach klasowych) dane często traktuje się jako próbę, więc dzielnikiem jest (n − 1).
3. Wzór na odchylenie standardowe
A. Wzór na odchylenie standardowe populacji
Załóżmy, że dane: \( x_1, x_2, \dots, x_N \)
Średnia populacja:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Wariancja populacji:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
Odchylenie standardowe populacji:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
B. Wzór na odchylenie standardowe próby
Średnia próby:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Wariancja próbki:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Odchylenie standardowe próbki:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Kroki ręcznego obliczenia odchylenia standardowego
Aby łatwiej to zrozumieć, posłużymy się przykładem danych dotyczących wyników egzaminów 5 studentów:
Dane: 60, 70, 70, 80, 90
Załóżmy, że dane stanowią próbkę (co jest powszechne w przykładach edukacyjnych).
Krok 1: Oblicz średnią
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Więc średnia ocena wynosi 74.
Krok 2: Oblicz różnicę między poszczególnymi danymi a średnią
Utwórz kolumnę różnic \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Krok 3: Podnieś różnicę do kwadratu
Oblicz \( (x_i – \bar{x})^2 \):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Krok 4: Dodaj kwadraty różnic
\[
Suma (x_i – x)^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Krok 5: Oblicz wariancję (dla próbki podziel przez n − 1)
Ponieważ n = 5, to n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Tak więc wariancja próbki wynosi 130.
Krok 6: Pierwiastek kwadratowy wariancji w celu uzyskania odchylenia standardowego
\[
s = \sqrt{130} \ approx 11{,}40
\]
Zatem odchylenie standardowe danych wynosi około 11,40. Oznacza to, że średnio wyniki uczniów odbiegają o około 11 punktów od średniej wynoszącej 74.
5. Szybki sposób: Wzór alternatywny (obliczenia)
Oprócz opisanej powyżej metody ręcznej istnieje wzór obliczeniowy, który jest często stosowany w celu przyspieszenia obliczeń, zwłaszcza w przypadku dużej ilości danych:
Wariancja próbki:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Wzór ten pozwala uniknąć obliczania różnic pojedynczo, ale nadal wymaga precyzji przy obliczaniu sumy kwadratów danych.
Jednak w przypadku zrozumienia koncepcji metoda krok po kroku (różnica → kwadrat → suma) jest zazwyczaj łatwiejsza i mniej podatna na błędy.
6. Interpretacja odchylenia standardowego
Odchylenie standardowe nie ogranicza się tylko do liczb, ale musi być interpretowane:
– Małe odchylenie standardowe: dane skupiają się w pobliżu średniej, zmienność jest niska, wyniki są bardziej spójne.
– Duże odchylenie standardowe: dane znacznie odbiegają od średniej, zmienność jest duża, wyniki są mniej spójne.
Załóżmy na przykład, że dwie klasy mają taką samą średnią ocen, 74. Jeśli klasa A ma odchylenie standardowe wynoszące 5, a klasa B – 15, to wyniki w klasie A są bardziej wyrównane i stabilne. Klasa B charakteryzuje się większą zmiennością: niektóre są bardzo niskie, a niektóre bardzo wysokie.
7. Typowe błędy
Oto kilka typowych błędów popełnianych przy obliczaniu odchylenia standardowego:
1. Zapomniano o rozróżnieniu próby i populacji, więc dzielnik jest błędny (N vs n − 1).
2. Błędne obliczenie średniej, powodujące, że wszystkie kolejne kroki będą błędne.
3. Zapomnienie o podniesieniu różnicy do kwadratu lub pomyłka przy obliczaniu pierwiastka kwadratowego na końcu.
4. Błędy arytmetyczne przy dodawaniu lub obliczaniu kwadratów liczb.
Błędom można zapobiec poprzez utworzenie tabeli obliczeniowej i dwukrotne sprawdzenie wyników.
Zamknięcie
Obliczenie odchylenia standardowego nie jest wcale trudne, jeśli poprawnie wykonasz poniższe kroki: oblicz średnią, znajdź różnicę między każdym zestawem danych, podnieś różnice do kwadratu, dodaj je, podziel (przez n lub n − 1), a następnie wyciągnij pierwiastek kwadratowy. Rozumiejąc odchylenie standardowe, możesz ocenić spójność danych i stopień ich zmienności.
Jeśli chcesz, mogę również utworzyć dodatkowe przykłady z większą ilością danych, przykłady danych grupowanych (tabele częstotliwości) lub nauczyć się, jak obliczyć odchylenie standardowe za pomocą programu Excel/Arkuszy Google.
