prosjektil bevegelse

Artikkel om prosjektilbevegelsen og eksempelproblemer med løsninger

Starthastighet (v_o) og komponentene av starthastigheten (v_ox og v_oy)

Et objekt hvis parabolske bevegelser alltid har en starthastighet. Fordi parabolsk bevegelse er en kombinasjon av bevegelser i horisontal og vertikal retning, har starthastigheten også horisontale og vertikale komponenter.

Hvis objektet beveger seg parabolsk som i figur 1 og 3, beregnes starthastigheten i horisontal retning (v _ox ) og starthastigheten i vertikal retning (v _{oy ) ved hjelp av ligningen:}

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Hvis objektet beveger seg parabolsk som figur 2, så er v _o = v _ox (v _oy = 0)

Hastighet (v_x og v_y) og posisjon (x og y)

Hastigheten i horisontal og vertikal retning over et visst tidsintervall beregnes ved hjelp av ligningen:

v _x = v _ox = konstant ( jevn lineær bevegelse )

v _y = v _oy + gt eller v _y ² = v _oy ² + 2 gh (fritt fall)

Plasseringen av objekter i horisontal (x) og vertikal (y) retning ved et visst tidsintervall beregnes ved hjelp av ligningen:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 ^gt²

Resultanten av hastighet (v) og posisjon (h)

Resulterende hastighet ved et spesifisert tidsintervall beregnes ved hjelp av ligningen:

Retningen til objekter ved et bestemt tidsintervall beregnes ved hjelp av ligningen:

Merknader:

1. Den horisontale komponenten av parabolsk bevegelse regnes som den uniforme lineære bevegelsen, så vox = vx er alltid konstant

2. Den vertikale komponenten av parabolsk bevegelse blir sett på som fritt fall-bevegelse, så hvis objektet beveger seg parabolsk, som i figur 1 og 3, er den vertikale komponenten av objektets hastighet i maksimal høyde null (v _y = 0). Hvis du kaster en klinkekule oppreist oppover i maksimal høyde, hviler objektet et øyeblikk (v _y = 0) før det dreier nedover. Derfor er hastigheten til objektet som beveger parabolen i maksimal høyde = v _x = v _ox

3. Hvis objektet beveger seg parabolsk som vist i figur 2, blir den vertikale komponenten av den parabolske bevegelsen sett på som fritt fall-bevegelsen. Hvis objektet beveger seg parabolsk som vist i figur 1 og 3, blir den vertikale komponenten av den parabolske bevegelsen sett på som den oppadgående vertikale bevegelsen.

Eksempelproblemer:

1. En kule avfyres i horisontal retning med en starthastighet på 20 m/s. Hvis kanonen er 5 meter over bakken, bestem:

(a) tid i luften

(b) maksimal høyde

(c) den horisontale avstanden

(d) kulens hastighet når den treffer bakken

Løsning:

Bevegelse i horisontal retning analyseres som den jevne lineære bevegelsen, mens bevegelse i vertikal retning analyseres som fritt fall-bevegelsen.

Kjent:

v _oks = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Tid i luften

Løsningen er å bestemme tidsintervallet (t) i fritt fall-bevegelsen.

Kjent: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Ønskes: t

b) Maksimal høyde

Maksimal høyde = h = 5 meter.

c) Horisontal avstand (d)

Løsningen er som å bestemme avstanden på den jevne lineære bevegelsen

Kjent: v _ox = 20 m/s, t = 1 sekund

Ønskes: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Hastighet når kulen treffer bakken

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Først beregner vi slutthastigheten i vertikal retning (vty). Løsningen er som å bestemme slutthastigheten til frittfallbevegelsen.

Kjent: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Ønskes: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

vt = _gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

vt ₌ 9.8 m/s

Kulens hastighet når den treffer bakken:

Kulens retning:

Fordi v _tx er i retning av den positive x-aksen (mot høyre) og v _ty er i retning av den negative y-aksen (nedover),

Retningen på kulen når den treffer bakken er -26.1 ^° i forhold til den positive x-aksen (se figuren nedenfor).

2. Kanonen avfyrte en kule i en vinkel på 30 ^grader i forhold til horisontalen med en hastighet på 60 m/s. Bestem:

(a) maksimal høyde

(b) kulens hastighet ved maksimal høyde

(c) tid i luften

(d) den horisontale avstanden

(e) kulens hastighet når den treffer bakken. Anta at bakken er flat. 🙂

Løsning:

Bevegelse i horisontal retning analyseres som den jevne lineære bevegelsen, bevegelse i vertikal retning analyseres som den oppadgående vertikale bevegelsen.

Kjent: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Basert på kjente data beregner vi først de vertikale (v _oy ) og horisontale (v _ox ) komponentene av starthastigheten (v _o ).

a) Maksimal høyde (h)

Løsningen er som å bestemme den maksimale høyden på den oppadgående vertikale bevegelsen.

Kjent:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Maksimal høyde (t)

Løsningen er som å bestemme den maksimale høyden på den vertikale oppovergående bevegelsen.

Kjent:

v _oy = 30 m/s (dette er kulens starthastighet)

v _ty = 0 m/s (Ved maksimal høyde er kulens vertikale hastighet = 0 m/s. Dette er den endelige hastigheten.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Ønskes: h

vt² = _v² + ^2gh_​^​

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) timer

0 = 900 – 19.6 timer

900 = 19.6 timer

h = 900/19.6

h = 45.9 meter

Maksimal høyde oppnådd av kulen = 45.9 meter.

b) Hastigheten i maksimal høyde

Ved maksimal høyde er hastigheten i vertikal retning = 0 m/s. Ved maksimal høyde er det bare hastighet i horisontal retning. Hastigheten i horisontal retning ved maksimal høyde er lik starthastigheten i horisontal retning, som er 52.2 m/s. Hastighetsretningen i horisontal retning er alltid konstant, det vil si i retning av den positive x-aksen (hvis bevegelsen til et objekt er beskrevet i diagrammet ovenfor).

c) Tid i luften

Løsningen er som å bestemme tidsintervallet (t) i diskusjonen av den vertikale oppadgående bevegelsen.

Kjent:

v _oy = 30 m/s (dette er kulens starthastighet i vertikal retning)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (når kulen faller tilbake til bakken, er kulens forskyvning i vertikal retning = 0 m)

Ønskes: t

h = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 tonn

t = 30 / 4.9

t = 6.12 sekunder

Tid i luften = 6.12 sekunder

d) Horisontal avstand (d)

Løsningen er som å bestemme avstanden (d) på den jevne lineære bevegelsen.

Kjent:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 sekunder

Ønskes: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 sekunder) = 319.5 m

e) Hastighet når kulen treffer bakken

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Først beregner vi slutthastigheten i vertikal retning (v _ty ). Løsningen er å bestemme slutthastigheten på den vertikale oppoverbevegelsen.

Ønsket: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 sekunder

Ønskes: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Et negativt fortegn indikerer at slutthastigheten er nedover. Merk at starthastigheten i vertikal retning er lik slutthastigheten i vertikal retning.

Kulens hastighet når den treffer bakken:

Kulens retning:

Siden v _tx er i retning av den positive x-aksen (mot høyre) og vty er i retning av den negative y-aksen (nedover),

Retningen på kulens hastighet når den treffer bakken er -30 ^° rundt den positive x-aksen (se figur nedenfor).

3. En ball kastes fra kanten av en 50 meter høy bygning med en startfart på 10 m/s. Hvis ballen kastes i en vinkel på 30° fra horisontalplanet, bestem:

(a) tidsintervallet ballen treffer bakken

(b) ballens hastighet når den treffer bakken

(c) den horisontale avstanden som ballen kan nå måles fra bygningens kant

(d) den maksimale høyden ballen når

Løsning:

Først beregner vi den vertikale komponenten (v _oy ) og den horisontale komponenten (v _ox ) av starthastigheten (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Tidsintervallet ballen treffer bakken

Løsningen er som å bestemme tidsintervallet (t) i en vertikal oppadgående bevegelse. Størrelsen på vektoren med oppadgående retning velges til å være positiv, størrelsen på vektoren med nedadgående retning velges til å være negativ. Ballposisjonen der den kastes velges som referansepunkt. h er negativ fordi bakken er under referansepunktet, g er negativ fordi tyngdeakselerasjonens retning er nedadgående.

Kjent:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Ønskes: t

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 ^t²

-4.9 t² ⁺ 5 t + 5 = 0

Bruk den kvadratiske formelen:

Tid i luften = tidsintervallet fra ballen ble kastet til den nådde bakken = 1.64 sekunder.

b) Ballens hastighet når den treffer bakken

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Først beregner vi slutthastigheten i vertikal retning (v _ty ). Løsningen er som å bestemme slutthastigheten på den vertikale oppovergående bevegelsen.

Kjent: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 sekunder

Ønskes: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5–16

v _ty = -11 m/s

Det negative fortegnet indikerer at retningen på den endelige hastigheten er nedover.

Kulens hastighet når den treffer bakken:

Kulens hastighetsretning = kulens bevegelsesretning når den treffer bakken:

Kulens hastighet når den treffer bakken:

Fordi vtx er i retning av den positive x-aksen (mot høyre) og vty er i retning av den negative y-aksen (nedover),

Retningen på kulen når den treffer bakken er -52° rundt den positive x-aksen (se figur nedenfor).

c) Horisontal avstand som ballen kan nå måles fra bygningens kant

Løsningen er som å bestemme den tilbakelagte avstanden (d) på den jevne lineære bevegelsen.

Kjent: t = 1.64 sekunder, v _x = 8.7 m/s

Ønskes: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Den maksimale høyden ballen når

Kjent: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( vertikal komponent av hastigheten i maksimal høyde = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Ønskes: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (t)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (t)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (t)

t = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 meter

Maksimal høyde nådd av ballen = 1.3 meter over toppen av bygningen = 1.3 m + 50 m = 51.3 meter over bakkeoverflaten.