Technieken voor het bepalen van de gemiddelde afwijking in statistische gegevens
In de statistiek is het vaak niet voldoende om alleen het 'centrum' van de gegevens te begrijpen – bijvoorbeeld via het gemiddelde of de mediaan. Twee datasets kunnen hetzelfde gemiddelde hebben, maar aanzienlijk verschillen in hun mate van 'spreiding'. Daarom zijn spreidingsmaten belangrijk. Een spreidingsmaat die relatief gemakkelijk te begrijpen en te gebruiken is, is de gemiddelde afwijking. Dit artikel bespreekt technieken voor het bepalen van de gemiddelde afwijking in verschillende soorten statistische gegevens, inclusief berekeningsstappen en voorbeelden.
Inzicht in de gemiddelde afwijking
De gemiddelde afwijking is een maat die de gemiddelde afstand aangeeft van elk datapunt tot een maat voor centrale tendens, meestal het rekenkundig gemiddelde of de mediaan. De afstand in kwestie is de absolute waarde van het verschil tussen de data en de centrale waarde, zodat een negatief verschil een positief verschil niet kan "opheffen".
Over het algemeen beschrijft de gemiddelde afwijking hoe ver de gegevens verspreid zijn rond de centrale waarde. Hoe kleiner de gemiddelde afwijking, hoe dichter de gegevens rond het centrum geclusterd zijn; hoe groter de waarde, hoe meer de gegevens variëren.
Waarom absolute waarde gebruiken?
Als we het gemiddelde van de verschillen tussen de gegevens en het gemiddelde berekenen zonder absolute waarde, zal de som van de verschillen altijd nul zijn (omdat het gemiddelde het evenwichtspunt is). Bijvoorbeeld, als er verschillen zijn van +5 en -5, tellen die op tot 0. Daarom worden absolute waarden gebruikt, zodat de afwijkingen de afstand van de gegevens tot het centrum nauwkeurig weergeven.
Formule voor gemiddelde afwijking voor individuele gegevens
Voor afzonderlijke gegevens (niet gegroepeerd) wordt de gemiddelde afwijking van het gemiddelde als volgt geformuleerd:
\[
SR = \frac{\sum |x_i – \bar{x}|}{n}
\]
Opmerkingen:
– \( SR \): gemiddelde afwijking
– \( x_i \): i-de gegevens
– \( \bar{x} \): rekenkundig gemiddelde (gemiddelde)
– \( n \): hoeveelheid gegevens
Techniek voor het berekenen van één gegeven (Stappen)
1. Bereken het gemiddelde \( \bar{x} \) van alle gegevens.
2. Bereken het verschil tussen elke data en het gemiddelde: \( x_i – \bar{x} \).
3. Neem de absolute waarde van elk verschil: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. Tel alle absolute waarden van de verschillen bij elkaar op.
5. Deel door het aantal gegevens \( n \).
Voorbeeld van één enkele dataset
Waardegegevens: 6, 8, 10, 12, 14
1) Gemiddelde:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
2) Absolute waarde van het verschil:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4
Totaal = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12
3) Gemiddelde afwijking:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]
Dit betekent dat elke waarde gemiddeld 2,4 eenheden afwijkt van het gemiddelde (10).
Gemiddelde afwijking voor frequente (discrete) gegevens
Als de gegevens worden gepresenteerd in de vorm van waarden en frequenties (bijvoorbeeld een tabel), wordt de formule:
\[
SR = \frac{\sum f_i |x_i – \bar{x}|}{\sum f_i}
\]
Opmerkingen:
– \( f_i \): datafrequentie \( x_i \)
Technieken voor het berekenen van frequentiegegevens
1. Bereken het gemiddelde: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. Bereken \( |x_i-\bar{x}| \)
3. Vermenigvuldig met de frequentie: \( f_i |x_i-\bar{x}| \)
4. Tel alle resultaten van stap 3 bij elkaar op.
5. Deel door de totale frequentie
Voorbeelden van discrete gegevens
| Waarde (x) | Frequentie (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
Totale frequentie: \(2+3+1=6\)
Gemeen:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
Bereken de afwijking:
– Voor x=5: |5−6,67|=1,67 → maal f=2 → 3,34
– Voor x=7: |7−6,67|=0,33 → maal f=3 → 0,99
– Voor x=9: |9−6,67|=2,33 → maal f=1 → 2,33
Totaal: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66
Gemiddelde afwijking:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
Gemiddelde afwijking voor gegroepeerde gegevens (klasse-interval)
Bij gegroepeerde data (bijvoorbeeld intervalfrequentieverdelingen) worden de datawaarden niet afzonderlijk weergegeven, maar in klassen. Hiervoor wordt het klassemiddelpunt (xi) gebruikt om de data binnen een klasse weer te geven.
De formule:
\[
SR=\frac{\sum f_i |x_i-\bar{x}|}{\sum f_i}
\]
Echter, \(x_i\) is het middelpunt van de klasse .
Groepsdata-berekeningstechnieken
1. Bepaal het middelpunt van elke klasse:
\[
x_i=\frac{\text{ondergrens + bovengrens}}{2}
\]
2. Bereken het groepsgemiddelde:
\[
\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}
\]
3. Bereken \( |x_i-\bar{x}| \)
4. Vermenigvuldig met de frequentie \( f_i \)
5. Tel alle resultaten bij elkaar op en deel vervolgens door de totale frequentie.
Voorbeeld van groepsgegevens
| Klasse | f |
|—|—|
| 10–14 | 3 |
| 15–19 | 5 |
| 20–24 | 2 |
Middelpunt:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22
Totaal f = 10
Gemeen:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
Afwijking:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11
Totaal = 13,5 + 2,5 + 11 = 27
Gemiddelde afwijking:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]
Gemiddelde afwijking van de mediaan
Naast het gemiddelde kan ook de gemiddelde afwijking worden berekend vanuit de mediaan. Het principe is hetzelfde, alleen de centrale waarde verschilt. Dit is handig wanneer de data uitschieters bevat, omdat de mediaan minder gevoelig is voor extreme waarden.
Voor afzonderlijke gegevens:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum |x_i-Me|}{n}
\]
Voor frequentiegegevens:
\[
SR_{Me}=\frac{\sum f_i|x_i-Me|}{\sum f_i}
\]
Voordelen en beperkingen van de gemiddelde afwijking
Kelebihan:
1. Gemakkelijk te begrijpen omdat het gebruikmaakt van de "gemiddelde afstand" tot het datacenter.
2. Gebruik alle gegevens (niet slechts bepaalde gegevens).
3. Kan worden berekend voor verschillende vormen van gegevenspresentatie.
Keterbatasan:
1. Minder populair dan de standaarddeviatie in geavanceerde statistische analyses.
2. Het gebruik van absolute waarden maakt sommige algebraïsche bewerkingen minder handig.
3. Niet zo sterk als de standaarddeviatie in veel inferentiële methoden.
Sluitend
De techniek voor het bepalen van de gemiddelde afwijking in statistische gegevens volgt in principe een consistent patroon: bepaal de centrale waarde (gemiddelde of mediaan), bereken de absolute afstand van elk datapunt (of klassemiddelpunt) tot het centrum en neem vervolgens het gemiddelde hiervan – rekening houdend met de frequentie als de gegevens in een tabel worden gepresenteerd. De gemiddelde afwijking is een handige maatstaf voor spreiding om de variabiliteit van gegevens intuïtief te beschrijven. Door de stappen te begrijpen, kunt u variatie tussen datasets vergelijken en de stabiliteit van een dataset beter beoordelen.
Als je wilt, kan ik je helpen om een versie van dit artikel te maken in de vorm van een schoolopdracht (met inleiding, discussie en conclusie) of om oefenvragen toe te voegen aan de discussie.
