Continuïteitsvergelijking

Materiaal over de continuïteitsvergelijking

Probeer de waterkraan langzaam open te draaien en kijk naar de waterstroom die eruit komt. Zodra de kraan niet meer draait, blokkeer je de kraan gedeeltelijk met je hand. Vergelijk nu welke waterstroom groter is: bij een gedeeltelijk geblokkeerde of een niet-geblokkeerde kraan? Stel je voor dat je een tuinslang hebt die je normaal gebruikt om bloemen water te geven. Laat er water doorheen stromen. Blokkeer de slang gedeeltelijk met je hand of vinger. Hoe meer van de slang geblokkeerd is, hoe sneller het water eruit stroomt. Omgekeerd, als de slang niet geblokkeerd is, stroomt het water langzamer. Hoe komt dat? Om dit te begrijpen, bestudeer je de continuïteitsvergelijking.

Stroomlijnen en stroombuizen

Laten we eerst de concepten van stroomlijnen en stromingsbuizen begrijpen. Dit concept is belangrijk omdat het je zal helpen de continuïteitsvergelijking te begrijpen.

Stroomlijn

Kijk naar de afbeelding hieronder; de blauwe lijn is de Streamline.

Bij een stationaire stroming blijft de snelheid van elk vloeistofdeeltje op een bepaald punt, bijvoorbeeld punt A, constant. Wanneer het deeltje punt B passeert, kan de snelheid van de vloeistofdeeltjes veranderen. Echter, bij aankomst in punt B blijven de vloeistofdeeltjes die volgen met dezelfde snelheid stromen als de vloeistofdeeltjes die hen voorgingen. Hetzelfde geldt bij aankomst in punt C, enzovoort. De stroomlijn is de kromme die de punten A, B en C verbindt.

Stroombuis

In principe kunnen we elke stroomlijn door elk punt in de vloeistofstroom tekenen. Als we een stationaire vloeistofstroom beschouwen, vormen een aantal stroomlijnen die onder een bepaalde hoek op een denkbeeldig oppervlak (imaginaire oppervlakte) lopen een stroombuis. Geen enkele vloeistofdeeltje kruist elkaar, maar ze zijn altijd parallel, en de stroombuis zal lijken op een pijp die altijd dezelfde vorm heeft. Vloeistof die aan het ene uiteinde van de buis binnenkomt, verlaat de buis aan het andere uiteinde.

Debiteren

Debiet geeft het volume aan van een vloeistof die in een bepaald tijdsinterval door een bepaalde dwarsdoorsnede stroomt. Mathematisch kan dit als volgt worden uitgedrukt:

Laten we, om het beter te begrijpen, een voorbeeld nemen. Stel dat een vloeistof door een pijp stroomt. Pijpen zijn meestal cilindrisch en hebben een specifieke dwarsdoorsnede. De pijp heeft ook een lengte.

Wanneer de vloeistof door de pijp stroomt over een afstand van L, dan is het volume van de vloeistof in de pijp V = AL (V = vloeistofvolume, A = dwarsdoorsnede en L = pijplengte). Omdat de vloeistof tijdens de stroming over de afstand L een bepaalde tijd aflegt, kunnen we zeggen dat de grootte van de vloeistofafvoer als volgt is:

Omdat v = s/t = L/t —> L = vt, wordt de bovenstaande vergelijking gewijzigd in:

Wanneer vloeistof gedurende een bepaalde tijdsperiode door een pijp stroomt met een bepaalde dwarsdoorsnede en lengte, is de hoeveelheid vloeistofdebiet (Q) gelijk aan de dwarsdoorsnede (A) vermenigvuldigd met de stroomsnelheid (v) van de vloeistof.

Continuïteitsvergelijking

Beschouw de vloeistofstroom in een pijp met verschillende diameters, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.

Deze afbeelding toont de vloeistofstroom van links naar rechts (vloeistof stroomt van een pijp met een grote diameter naar een pijp met een kleine diameter). De stippellijnen zijn stroomlijnen.

Afbeeldingstekst: A ₁ = dwarsdoorsnede van het pijpsegment met grote diameter, A ₂ = dwarsdoorsnede van het pijpsegment met kleine diameter, v ₁ = vloeistofsnelheid in het pijpsegment met grote diameter, v ₂ = vloeistofsnelheid in het pijpsegment met kleine diameter, L = afgelegde afstand door de vloeistof.

In de inleiding tot de vloeistofdynamica werd uitgelegd dat we in de vloeistofdynamica de stroming van vloeistoffen bespreken die onsamendrukbaar, wrijvingsloos, niet-turbulent en stationair zijn. Bij een stationaire stroming is de snelheid van vloeistofdeeltjes op een bepaald punt gelijk aan de snelheid van andere vloeistofdeeltjes die door dat punt stromen. De vloeistofstromen kruisen elkaar ook niet (de stroomlijnen zijn parallel). Daarom moet de massa vloeistof die aan het ene uiteinde van een pijp binnenkomt gelijk zijn aan de massa vloeistof die aan het andere uiteinde eruit stroomt. Als een vloeistof met een bepaalde massa een pijp met een grote diameter binnenkomt, zal de vloeistof de pijp met een kleine diameter verlaten met een constante massa.

Kijk nu naar de afbeelding van de buis hierboven. Let op het gedeelte van de buis met de grote diameter en het gedeelte van de buis met de kleine diameter.

Gedurende een bepaald tijdsinterval stroomt een bepaalde hoeveelheid vloeistof door een gedeelte van een pijp met een grote diameter (A).₁) voor zover L₁ (L₁ = v₁ t). Het volume van de stromende vloeistof is V.₁ = A₁ L₁ = A₁ v₁ t. Gedurende hetzelfde tijdsinterval stroomt een andere hoeveelheid vloeistof door een gedeelte van de pijp met een kleinere diameter (A).₂) voor zover L₂ (L₂ = v₂ t). Het volume van de stromende vloeistof is V.₂ = A₂ L₂ = A₂ v₂ t.

Continuïteitsvergelijking voor onsamendrukbare vloeistoffen (onsamendrukbaar)

Laten we eerst eens kijken naar een onsamendrukbare vloeistof. Bij een onsamendrukbare vloeistof is de dichtheid, of massa, van de vloeistof overal gelijk. De massa vloeistof die gedurende een bepaald tijdsinterval door een pijp stroomt met een dwarsdoorsnede A1 ₍ de grote diameter van de pijp) is:

Evenzo is de massa vloeistof die gedurende een bepaald tijdsinterval door een pijp met een dwarsdoorsnede van A2 ₍ kleine pijpdiameter) stroomt:

Aangezien bij een constante stroming de massa van de instromende vloeistof gelijk is aan de massa van de uitstromende vloeistof, geldt het volgende:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t (de vloeistofdichtheid en het tijdsinterval zijn gelijk, dus ze heffen elkaar op)

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

In onsamendrukbare vloeistoffen geldt dus de continuïteitsvergelijking:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂ — Vergelijking 1

Informatie :

A ₁ = dwarsdoorsnedeoppervlak 1, A ₂ = dwarsdoorsnedeoppervlak 2, v ₁ = vloeistofstroomsnelheid bij dwarsdoorsnede 1, v ₂ = vloeistofstroomsnelheid bij dwarsdoorsnede 2, A v = volumestroom V/t oftewel afvoer

Vergelijking 1 laat zien dat het volumestroomdebiet, ook wel debiet genoemd, overal langs een pijp of stroombuis gelijk is. Naarmate de dwarsdoorsnede van de pijp afneemt, neemt het vloeistofdebiet toe; omgekeerd, naarmate de dwarsdoorsnede van de pijp toeneemt, neemt het vloeistofdebiet af.

Als we de kraan gedeeltelijk dichtdraaien, stroomt het water sneller dan wanneer de kraan gedeeltelijk dichtgedraaid is. Dit komt doordat de doorsnede van de kraan kleiner wordt wanneer deze gedeeltelijk dichtgedraaid is, waardoor de waterstroom sneller gaat (de vloeistof stroomt sneller). Hetzelfde geldt voor slangen. Het is echter belangrijk om te weten dat de afvoer of het volumestroomdebiet overal in de waterstroom hetzelfde blijft, ongeacht of de kraan gedeeltelijk dichtgedraaid is of niet. Wat verandert, is dus de vloeistofstroom.

En hoe zit het dan met de waterstroom in een rivier? Diepere gedeelten van een rivier hebben een grotere dwarsdoorsnede dan ondiepere gedeelten, waardoor de stroomsnelheid in diepere gedeelten lager is dan in ondiepere gedeelten. Als je een zeer kalme rivierstroom ziet, betekent dat dat de rivier diep is. Maar als de rivier plotseling snel gaat stromen, is dat gedeelte absoluut ondiep. De hoeveelheid water die erdoorheen stroomt, is echter altijd hetzelfde, of het nu in diepe of kalme gedeelten van de rivier is.

Continuïteitsvergelijking voor samendrukbare vloeistoffen (samendrukbaar)

Bij samendrukbare vloeistoffen is de dichtheid niet altijd gelijk. Met andere woorden, de dichtheid van de vloeistof verandert wanneer deze wordt samengedrukt. Bij onsamendrukbare vloeistoffen wordt de dichtheid van de vloeistof weliswaar uit de vergelijking weggelaten, maar in dit geval is deze nog steeds van belang. Laten we, aan de hand van de eerder afgeleide vergelijking, de vergelijking voor samendrukbare vloeistoffen afleiden.

Aangezien bij een constante stroming de massa van de instromende vloeistof gelijk is aan de massa van de uitstromende vloeistof, geldt het volgende:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t

Het tijdsinterval van de vloeistofstroom is hetzelfde, dus dat kan worden weggelaten. De vergelijking verandert in:

ρ EEN ₁ v ₁ = ρ EEN ₂ v ₂ → Vergelijking 2

Dit is de vergelijking voor een samendrukbare vloeistof. Het enige verschil zit hem in de dichtheid van de vloeistof. Wanneer een vloeistof wordt samengedrukt, verandert de dichtheid. Omgekeerd blijft de dichtheid van een onsamendrukbare vloeistof constant en kan deze worden weggelaten.

Voorbeeldvraag 1:

Water stroomt met een snelheid van 2 m/s door een pijp met een diameter van 10 cm. Wat is het debiet van het water?

Discussie

Het is bekend dat:

Pijpdiameter = 10 cm (dit is de binnendiameter van de pijp)

Straal van de pijp (r) = 5 cm = 0,05 m

v water = 2 m/s

Gevraagd: Debet

Antwoord :

Q = A v

Q = ( π r ² ) (2 m/s)

Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)

Q = (3,14)(0,0025 m² ⁾ (2 m/s)

Q = 0,0157 m³ ^/ s

Voorbeeldvraag 2:

Een waterleiding met een diameter van 20 cm is verbonden met een andere leiding met een diameter van 10 cm. Als de waterstroom in de leiding van 20 cm 4 m/s bedraagt, wat is dan de waterstroom in de leiding van 10 cm?

Discussie

Het is bekend dat:

Diameter 1 = 20 cm (r ₁ = 10 cm = 0,1 m)

v ₁ = 4 m/s

Diameter 2 = 10 cm (r ₂ = 5 cm = 0,05 m)

Gevraagd: v ₁

Antwoord :

Q ₁ = Q ₂

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

( π r ₁₂ ) (4 m/s) = (π r ₂₂ ) (v ₂ )

(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² (v ² )

(0,01 m² ⁾ (4 m/s) = (0,0025 m² ⁾ ( ^v² )

(0,04 m³ ^/ s) = (0,0025 m² ⁾ ( ^v² )

v ² = 16 m/s