Hoe bereken je de standaarddeviatie?
De standaarddeviatie is een van de meest gebruikte statistische maten om te bepalen hoe sterk gegevens van het gemiddelde afwijken. In de praktijk helpt de standaarddeviatie ons de stabiliteit of variatie van een fenomeen te begrijpen: bijvoorbeeld variaties in toetsresultaten, schommelingen in de verkoop, verschillen in lengte en zelfs de risico's in financiële gegevens. Hoe kleiner de standaarddeviatie, hoe dichter de gegevens bij het gemiddelde liggen. Omgekeerd geeft een grote standaarddeviatie aan dat de gegevens ver van het gemiddelde verwijderd zijn en een hoge variatie vertonen.
In dit artikel wordt de betekenis van de standaarddeviatie besproken, de gebruikte formule uitgelegd en de stappen beschreven om deze handmatig te berekenen aan de hand van eenvoudig te begrijpen voorbeelden.
1. Definitie van standaarddeviatie
De standaarddeviatie is de wortel van de variantie. De variantie zelf is het gemiddelde van de kwadraten van de verschillen tussen elk datapunt en het gemiddelde. Waarom een kwadraat gebruiken? Omdat de verschillen tussen de datapunten en het gemiddelde zowel negatief als positief kunnen zijn. Als ze direct bij elkaar worden opgeteld, kunnen negatieve en positieve verschillen elkaar opheffen, wat tot misleidende resultaten leidt. Door de verschillen te kwadrateren, worden alle waarden positief, waardoor een nauwkeurigere meting van de dataverdeling mogelijk is.
Simpel gezegd:
– Variantie = maat voor de spreiding in kwadratische eenheden.
– Standaarddeviatie = een maat voor de spreiding ten opzichte van de oorspronkelijke gegevenseenheden.
Bijvoorbeeld: als de gegevens in de vorm van toetsresultaten (punten) worden weergegeven, zal de variantie in punten zijn, evenals de standaardafwijking, wat de interpretatie vergemakkelijkt.
2. Standaarddeviatie van de populatie versus standaarddeviatie van de steekproef
Voordat je gaat rekenen, is het belangrijk om te weten over welk type gegevens je beschikt:
1. Populatie: de gegevens omvatten alle leden die onderzocht moeten worden.
De formule voor de standaarddeviatie van een populatie gebruikt de deler N (het aantal gegevens).
2. Steekproef: de gegevens vormen slechts een deel van de populatie en worden meestal gebruikt om een grotere populatie te representeren.
De formule voor de steekproefstandaarddeviatie gebruikt een deler (n − 1) om de schattingsbias te corrigeren. Deze correctie wordt de Bessel-correctie genoemd.
In de dagelijkse praktijk (bijv. onderzoek, enquêtes, klassenanalyse) worden gegevens vaak beschouwd als een steekproef, dus de deler is (n − 1).
3. Formule voor de standaarddeviatie
A. Formule voor de standaarddeviatie van een populatie
Stel dat de gegevens zijn: \( x_1, x_2, \dots, x_N \)
Gemiddelde bevolking:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Variatie in de populatie:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
Standaarddeviatie van de populatie:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
B. Formule voor de standaarddeviatie van de steekproef
Steekproefgemiddelde:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Steekproefvariantie:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Steekproefstandaarddeviatie:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Stappen om de standaarddeviatie handmatig te berekenen
Om het begrijpelijker te maken, gebruiken we het voorbeeld van de examenresultaten van 5 studenten:
Gegevens: 60, 70, 70, 80, 90
Neem aan dat deze gegevens een steekproef zijn (wat gebruikelijk is bij leervoorbeelden).
Stap 1: Bereken het gemiddelde
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
De gemiddelde score is dus 74.
Stap 2: Bereken het verschil tussen elke dataset en het gemiddelde.
Maak een verschilkolom \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Stap 3: Kwadrateer het verschil
Bereken \( (x_i – \bar{x})^2 \):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Stap 4: Tel de kwadraten van de verschillen bij elkaar op.
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Stap 5: Bereken de variantie (deel voor een steekproef door n − 1)
Omdat n = 5, is n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
De steekproefvariantie is dus 130.
Stap 6: Neem de wortel van de variantie om de standaardafwijking te verkrijgen.
\[
s = \sqrt{130} \approx 11{,}40
\]
De standaardafwijking van de gegevens is dus ongeveer 11,40. Dit betekent dat de scores van studenten gemiddeld ongeveer 11 punten afwijken van het gemiddelde van 74.
5. Snelle methode: Alternatieve formule (berekening)
Naast de handmatige methode hierboven, bestaat er een rekenformule die vaak wordt gebruikt om berekeningen te versnellen, vooral als er veel gegevens zijn:
Steekproefvariantie:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Deze formule vermijdt het één voor één berekenen van de verschillen, maar vereist nog steeds precisie bij het berekenen van de som van de kwadraten van de gegevens.
Voor een beter conceptueel begrip is de stapsgewijze methode (verschil → kwadraat → som) echter meestal eenvoudiger en minder foutgevoelig.
6. Interpretatie van de standaarddeviatie
De standaardafwijking is niet alleen een getal, maar moet ook worden geïnterpreteerd:
– Kleine standaarddeviatie: de gegevens liggen dicht bij het gemiddelde, de variatie is laag en de resultaten zijn consistenter.
– Grote standaardafwijking: de gegevens liggen ver van het gemiddelde, de variatie is groot en de resultaten zijn minder consistent.
Stel bijvoorbeeld dat twee klassen dezelfde gemiddelde score hebben, namelijk 74. Als klas A een standaardafwijking van 5 heeft en klas B een standaardafwijking van 15, dan zijn de scores in klas A gelijkmatiger verdeeld en stabieler. In klas B is de variatie groter: sommige scores zijn erg laag en andere erg hoog.
7. Veelvoorkomende fouten
Enkele veelgemaakte fouten bij het berekenen van de standaarddeviatie:
1. Ik ben vergeten onderscheid te maken tussen steekproef en populatie, waardoor de deler onjuist is (N versus n − 1).
2. Het gemiddelde verkeerd berekenen, waardoor alle volgende stappen fout zijn.
3. Vergeten het verschil te kwadrateren, of een fout maken bij het trekken van de wortel aan het eind.
4. Rekenfouten bij het optellen of kwadrateren van getallen.
Fouten kunnen worden voorkomen door een rekentabel te maken en de resultaten dubbel te controleren.
Sluitend
Het berekenen van de standaarddeviatie is eigenlijk niet moeilijk als je de stappen correct volgt: bereken het gemiddelde, bepaal het verschil tussen de verschillende datasets, kwadrateer de verschillen, tel ze bij elkaar op, deel (door n of n − 1) en neem vervolgens de wortel. Door de standaarddeviatie te begrijpen, kun je inschatten hoe consistent je gegevens zijn en hoeveel variatie erin zit.
Als je wilt, kan ik ook extra voorbeelden maken met meer gegevens, voorbeelden van gegroepeerde gegevens (frequentietabellen) of hoe je de standaardafwijking kunt berekenen met Excel/Google Sheets.
