गौसको नियमको उदाहरण प्रश्न र छलफल

गौसको नियमको उदाहरण प्रश्न र छलफल

गौसको नियम विद्युत चुम्बकत्वको एक प्रमुख स्तम्भ हो। यसले विद्युत चार्जको वितरणबाट उत्पन्न हुने विद्युत क्षेत्र गणना गर्ने प्रभावकारी तरिका प्रदान गर्दछ। यस लेखमा, हामी धेरै उदाहरण समस्याहरू छलफल गर्नेछौं र विभिन्न परिदृश्यहरूमा गौसको नियमको प्रयोगको बारेमा छलफल गर्नेछौं।

गौसको नियमको आधारभूत अवधारणा

उदाहरणका समस्याहरूबाट सुरु गर्नु अघि, गौसको नियमको आधारभूत अवधारणाको समीक्षा गरौं। गौसको नियमले बताउँछ कि बन्द सतहबाट निस्कने कुल विद्युतीय प्रवाह \( \Phi_E \) सतहले घेरिएको कुल चार्ज \( q_{in} \) सँग समानुपातिक हुन्छ। गणितीय रूपमा, गौसको नियमलाई यसरी व्यक्त गरिएको छ:

\[ \Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]

कहाँ:

– \( \Phi_E \) विद्युतीय प्रवाह हो।
– \( \mathbf{E} \) विद्युतीय क्षेत्र हो।
– \( \mathbf{A} \) सतह क्षेत्रफल भेक्टर हो।
– \( q_{in} \) बन्द सतह भित्रको चार्ज हो।
– \( \epsilon_0 \) भनेको भ्याकुम अनुमति हो (\( \epsilon_0 \लगभग ८.८५ \गुणा १०^{-१२} \, \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2) \))।

उदाहरण प्रश्न १: खोक्रो कन्डक्टर स्फेयरमा विद्युत क्षेत्र

प्रश्न:
तपाईंसँग बाहिरी त्रिज्या \( R \) र कुल चार्ज \( Q \) भएको खोक्रो प्रवाहकीय क्षेत्र छ। खोक्रो प्रवाहकीय भित्रको विद्युत क्षेत्र निर्धारण गर्नुहोस्।

छलफल:
- गौसियन सतहको निर्धारण:
मानौं कि हामीले प्रवाहकीय गुहा भित्र (जहाँ \( r < R \)) त्रिज्या \( r \) को एक केन्द्रित गोलाकार गौसियन सतह छनौट गर्छौं।

- फ्लक्स र चार्ज गणना:
चालक क्षेत्रको भित्री भाग खाली गुहा भएकोले, गौसियन सतह भित्रको चार्ज शून्य हुन्छ (\( q_{in} = 0 \))।

- गौसको नियमको प्रयोग:
गौसको नियम अनुसार:

\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]

\( q_{in} = 0 \) भएकोले, विद्युतीय प्रवाह पनि शून्य हुन्छ:

\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = ०
\]

- निष्कर्ष:
विद्युतीय प्रवाह शून्य भएकोले, यसको अर्थ गुहा भित्रको प्रत्येक बिन्दुमा विद्युतीय क्षेत्र \( \mathbf{E} \) पनि शून्य हुन्छ।

त्यसैले, प्रवाहकीय गुहा भित्रको विद्युतीय क्षेत्र \( 0 \, \text{N/C} \) हो।

उदाहरण २: अनन्त प्लेटद्वारा विद्युतीय क्षेत्र

प्रश्न:
सतह चार्ज घनत्व \( \sigma \) भएको अनन्त धातु प्लेट नजिकैको विद्युत क्षेत्र गणना गर्नुहोस्।

छलफल:
- गौसियन सतहको निर्धारण:
प्लेटको माथि र तल सतहहरू भएको, प्रत्येकको क्षेत्रफल \( A \) भएको बेलनाकार गौसियन सतह "गौसियन पिलबक्स" चयन गर्नुहोस्।

- फ्लक्स र चार्ज गणना:
सतहको दुवै छेउबाट निस्कने कुल विद्युतीय प्रवाह निम्नानुसार छ:

\[
\फाइ_ई = २इए
\]

जहाँ \( E \) प्लेटको दुबै छेउमा रहेको विद्युतीय क्षेत्र हो। गाउसियन सतहले घेरिएको कुल चार्ज \( q_{in} \) हो:

\[
q_{in} = \सिग्मा \cdot A
\]

- गौसको नियमको प्रयोग:
गौसको नियम अनुसार:

\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]

त्यसैले:

\[
२EA = \frac{\सिग्मा A}{\epsilon_0}
\]

सरलीकरण गरेर:

\[
E = frac{\sigma}{2\epsilon_0}
\]

- निष्कर्ष:
अनन्त धातु प्लेट नजिकको विद्युत क्षेत्र यो हो:

\[
E = \frac{\सिग्मा}{2\epsilon_0} \, \text{(N/C)}
\]

उदाहरण ३: बिन्दु चार्ज वरिपरि विद्युत क्षेत्र

प्रश्न:
बिन्दु चार्ज \( q \) बाट \( r \) को दूरीमा विद्युत क्षेत्र गणना गर्नुहोस्।

छलफल:
- गौसियन सतहको निर्धारण:
बिन्दु चार्ज \( r \) को त्रिज्या \( q \) भएको गोलाकार गौसियन सतह छान्नुहोस्।

- फ्लक्स र चार्ज गणना:
गाउसियन सतहबाट निस्कने कुल विद्युतीय प्रवाह यस प्रकार छ:

\[
\फाइ_इ = ई \सीडट ४\पाइ आर^२
\]

गौसियन सतहले घेरिएको कुल चार्ज \( q_{in} \) बिन्दु चार्ज \( q \) हो।

- गौसको नियमको प्रयोग:
गौसको नियम अनुसार:

\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]

त्यसैले:

\[
E \cdot ४\pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0}
\]

सरलीकरण गरेर:

\[
E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]

- निष्कर्ष:
बिन्दु चार्ज \( q \) बाट \( r \) को दूरीमा विद्युत क्षेत्र निम्न छ:

\[
E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \, \text{(N/C)}
\]

उदाहरण ४: एकसमान चार्ज भएको गोलाकार भित्र र बाहिर विद्युतीय क्षेत्र

प्रश्न:
त्रिज्या \( R \) भएको ठोस गोलामा कुल चार्ज \( Q \) समान रूपमा वितरित हुन्छ। गोलाको भित्रको बिन्दुमा विद्युत क्षेत्र गणना गर्नुहोस् (\( r < R \)) र गोलाको बाहिरको बिन्दुमा (\( r > R \))।

छलफल:

\( r < R \) को लागि:
- गौसियन सतहको निर्धारण:
ठोस गोलाको भित्र \( r \) त्रिज्या भएको गोलाकार गौसियन सतह चयन गर्नुहोस्।

- लोड गणना:

चार्ज समान रूपमा वितरित भएको हुनाले, त्रिज्या \( r \) भित्रको चार्ज निम्न हो:

\[
q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3
\]

जहाँ \( \rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \)।

\[
q_{in} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right)
\]

- गौसको नियमको प्रयोग:

\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]

त्यसैले:

\[
E \cdot ४\pi r^2 = \frac{Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right)}{\epsilon_0}
\]

सरलीकरण गरेर:

\[
E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3}
\]

त्यसैले, गोलाको भित्रको विद्युतीय क्षेत्र (\( r < R \)) हो: \[ E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3} \] \( r > R \) को लागि:

- गौसियन सतहको निर्धारण:
ठोस गोलाको बाहिर त्रिज्या \( r \) भएको गोलाकार गौसियन सतह छान्नुहोस्।

- लोड गणना:
गाउसियन सतहमा रहेको कुल चार्ज भनेको गोलाको कुल चार्ज हो \( Q \)।

- गौसको नियमको प्रयोग:

\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]

त्यसैले:

\[
E \cdot ४\pi r^२ = \frac{Q}{\epsilon_0}
\]

सरलीकरण गरेर:

\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]

त्यसैले, गोलाको बाहिरको विद्युतीय क्षेत्र (\( r > R \)) हो:

\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]

केसिम्पुलन

गौसको नियमले विभिन्न परिस्थितिहरूमा विद्युतीय क्षेत्रहरूको विश्लेषण गर्न एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान गर्दछ। उपयुक्त गौसियन सतह छनौट गरेर र यसका आधारभूत सिद्धान्तहरू लागू गरेर, हामी विद्युतीय क्षेत्र वितरणहरू अझ प्रभावकारी रूपमा गणना गर्न सक्छौं। माथिका उदाहरणहरू मार्फत, हामीले प्रवाहकीय क्षेत्र, अनन्त धातु प्लेट, बिन्दु चार्ज, र एक समान चार्ज भएको क्षेत्र जस्ता परिस्थितिहरूमा गौसको नियमको प्रयोग देखेका छौं । निरन्तर बुझाइ र अभ्यासले विभिन्न विद्युत चुम्बकत्व अनुप्रयोगहरूमा गौसको नियमको ठोस प्रयोग सुनिश्चित गर्नेछ।