गौसको नियमको उदाहरण प्रश्न र छलफल

गौसको नियमको उदाहरण प्रश्न र छलफल

गौसको नियम विद्युत चुम्बकत्वको एक प्रमुख स्तम्भ हो। यसले विद्युत चार्जको वितरणबाट उत्पन्न हुने विद्युत क्षेत्र गणना गर्ने प्रभावकारी तरिका प्रदान गर्दछ। यस लेखमा, हामी धेरै उदाहरण समस्याहरू छलफल गर्नेछौं र विभिन्न परिदृश्यहरूमा गौसको नियमको प्रयोगको बारेमा छलफल गर्नेछौं।

गौसको नियमको आधारभूत अवधारणा

उदाहरणका समस्याहरूबाट सुरु गर्नु अघि, गौसको नियमको आधारभूत अवधारणाको समीक्षा गरौं। गौसको नियमले बताउँछ कि बन्द सतहबाट निस्कने कुल विद्युतीय प्रवाह \( \Phi_E \) सतहले घेरिएको कुल चार्ज \( q_{in} \) सँग समानुपातिक हुन्छ। गणितीय रूपमा, गौसको नियमलाई यसरी व्यक्त गरिएको छ:

\[ \Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]

कहाँ:

– \( \Phi_E \) विद्युतीय प्रवाह हो।
– \( \mathbf{E} \) विद्युतीय क्षेत्र हो।
– \( \mathbf{A} \) सतह क्षेत्रफल भेक्टर हो।
– \( q_{in} \) बन्द सतह भित्रको चार्ज हो।
– \( \epsilon_0 \) भनेको भ्याकुम अनुमति हो (\( \epsilon_0 \लगभग ८.८५ \गुणा १०^{-१२} \, \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2) \))।

उदाहरण प्रश्न १: खोक्रो कन्डक्टर स्फेयरमा विद्युत क्षेत्र

प्रश्न:
तपाईंसँग बाहिरी त्रिज्या \( R \) र कुल चार्ज \( Q \) भएको खोक्रो प्रवाहकीय क्षेत्र छ। खोक्रो प्रवाहकीय भित्रको विद्युत क्षेत्र निर्धारण गर्नुहोस्।

छलफल:
- गौसियन सतहको निर्धारण:
मानौं कि हामीले एउटा प्रवाहकीय गुहा भित्र त्रिज्या \( r \) भएको गाढा गोलाकार गौसियन सतह छनौट गर्छौं (जहाँ \( r < R \))। - प्रवाह र चार्ज गणना: प्रवाहकीय गोलाको भित्री भाग खाली गुहा भएकोले, गौसियन सतह भित्रको चार्ज शून्य हुन्छ (\( q_{in} = 0 \))। - गौसको नियमको प्रयोग: गौसको नियम अनुसार: \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]

\( q_{in} = 0 \) भएकोले, विद्युतीय प्रवाह पनि शून्य हुन्छ: \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = 0 \] - निष्कर्ष: विद्युतीय प्रवाह शून्य भएकोले, यसको अर्थ गुहा भित्रको प्रत्येक बिन्दुमा विद्युतीय क्षेत्र \( \mathbf{E} \) पनि शून्य हुन्छ। त्यसैले, प्रवाहकीय गुहा भित्रको विद्युतीय क्षेत्र \( 0 \, \text{N/C} \) हो। उदाहरण समस्या २: अनन्त प्लेटद्वारा विद्युतीय क्षेत्र समस्या: सतह चार्ज घनत्व \( \sigma \) भएको अनन्त धातु प्लेट नजिकै विद्युतीय क्षेत्र गणना गर्नुहोस्। समाधान: - गौसियन सतहको निर्धारण: प्लेटको माथि र तल सतहहरू भएको बेलनाकार "गौसियन पिलबक्स" आकारको गौसियन सतह छान्नुहोस्, प्रत्येकको क्षेत्रफल \( A \) हुन्छ। - फ्लक्स र चार्ज गणना: सतहको दुबै छेउबाट निस्कने कुल विद्युतीय प्रवाह यस प्रकार छ: \[ \Phi_E = 2EA \] जहाँ \( E \) प्लेटको दुबै छेउमा रहेको विद्युतीय क्षेत्र हो। गौसियन सतहले घेरिएको कुल चार्ज \( q_{in} \) यस प्रकार छ: \[ q_{in} = \sigma \cdot A \] - गौसको नियमको प्रयोग: गौसको नियम अनुसार: \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \] त्यसैले: \[ 2EA = \frac{\sigma A}{\epsilon_0} \] सरलीकरण गरेर: \[ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \] - निष्कर्ष: अनन्त धातु प्लेट नजिकको विद्युत क्षेत्र यस प्रकार छ: \[ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \, \text{(N/C)} \] उदाहरण समस्या ३: बिन्दु चार्ज वरिपरि विद्युत क्षेत्र समस्या: बिन्दु चार्ज \( q \) बाट \( r \) को दूरीमा विद्युत क्षेत्र विद्युत प्रवाह गणना गर्नुहोस्। छलफल: - गौसियन सतहको निर्धारण: बिन्दु चार्ज \( q \) बाट त्रिज्या \( r \) भएको गोलाकार गौसियन सतह छान्नुहोस्। - प्रवाह र चार्जको गणना: गौसियन सतहबाट निस्कने कुल विद्युतीय प्रवाह यो हो: \[ \Phi_E = E \cdot 4\pi r^2 \] गौसियन सतहले घेरिएको कुल चार्ज \( q_{in} \) बिन्दु चार्ज \( q \) हो। - गौसको नियमको प्रयोग: गौसको नियम अनुसार: \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \] त्यसैले: \[ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\epsilon_0} \] सरलीकरण गरेर: \[ E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \] - निष्कर्ष: बिन्दु चार्ज \( q \) बाट \( r \) को दूरीमा रहेको विद्युतीय क्षेत्र यो हो: \[ E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \, \text{(N/C)} \] उदाहरण प्रश्न ४: एक समान चार्ज भएको गोलाकार भित्र र बाहिर विद्युतीय क्षेत्र प्रश्न: त्रिज्या \( R \) भएको ठोस गोलामा कुल चार्ज \( Q \) हुन्छ जुन एकरूपमा वितरित हुन्छ। गोलाको भित्रको बिन्दुमा (\( r < R \)) र गोलाको बाहिर (\( r > R \)) विद्युतीय क्षेत्र गणना गर्नुहोस्।

छलफल:

\( r < R \) को लागि: - गौसियन सतहको निर्धारण: ठोस गोलाकार भित्र त्रिज्या \( r \) भएको गोलाकार गौसियन सतह छान्नुहोस्। - चार्जको गणना: चार्ज समान रूपमा वितरित भएको हुनाले, त्रिज्या \( r \) भित्रको चार्ज यस प्रकार छ: \[ q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \] जहाँ \( \rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \)। \[ q_{in} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right) \] - गौसको नियमको प्रयोग: \[ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \] त्यसैले: \[ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q \left(\frac{r^3}{R^3}\right)}{\epsilon_0} \] सरलीकरण गरेर: \[ E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3} \] त्यसैले, गोलाको भित्रको विद्युतीय क्षेत्र (\( r < R \)) हो: \[ E = \frac{Q r}{4\pi \epsilon_0 R^3} \] को लागि \( r > R \):

- गौसियन सतहको निर्धारण:
ठोस गोलाको बाहिर त्रिज्या \( r \) भएको गोलाकार गौसियन सतह छान्नुहोस्।

- लोड गणना:
गाउसियन सतहमा रहेको कुल चार्ज भनेको गोलाको कुल चार्ज हो \( Q \)।

- गौसको नियमको प्रयोग:

\[
\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0}
\]

त्यसैले:

\[
E \cdot ४\pi r^२ = \frac{Q}{\epsilon_0}
\]

सरलीकरण गरेर:

\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]

त्यसैले, गोलाको बाहिरको विद्युतीय क्षेत्र (\( r > R \)) हो:

\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]

केसिम्पुलन

गौसको नियमले विभिन्न परिस्थितिहरूमा विद्युतीय क्षेत्रहरूको विश्लेषण गर्न एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान गर्दछ। उपयुक्त गौसियन सतह छनौट गरेर र यसका आधारभूत सिद्धान्तहरू लागू गरेर, हामी विद्युतीय क्षेत्र वितरणहरू अझ प्रभावकारी रूपमा गणना गर्न सक्छौं। माथिका उदाहरणहरू मार्फत, हामीले प्रवाहकीय क्षेत्र, अनन्त धातु प्लेट, बिन्दु चार्ज, र एक समान चार्ज भएको क्षेत्र जस्ता परिस्थितिहरूमा गौसको नियमको प्रयोग देखेका छौं। निरन्तर बुझाइ र अभ्यासले विभिन्न विद्युत चुम्बकत्व अनुप्रयोगहरूमा गौसको नियमको ठोस प्रयोग सुनिश्चित गर्नेछ।