Ujian Mann-Whitney dalam Statistik
Statistik merupakan cabang matematik yang berkaitan dengan pengumpulan, analisis, tafsiran dan pembentangan data. Statistik digunakan dalam pelbagai bidang untuk membuat keputusan berasaskan data. Satu teknik yang kerap digunakan dalam statistik ialah ujian Mann-Whitney (juga dikenali sebagai ujian U Mann-Whitney atau ujian pangkat-jumlah Wilcoxon). Ini merupakan kaedah bukan parametrik yang digunakan untuk menentukan sama ada terdapat perbezaan yang signifikan antara dua kumpulan yang tidak berpasangan.
Pengenalan kepada Ujian Mann-Whitney
Ujian Mann-Whitney telah diperkenalkan oleh Henry Mann dan Donald Whitney pada tahun 1947 sebagai alternatif bukan parametrik kepada ujian-t. Kaedah ini tidak memerlukan andaian normaliti. Oleh itu, ia amat berguna apabila data tidak mengikuti taburan normal atau apabila saiz sampel terlalu kecil untuk mengesahkan andaian normaliti.
Prinsip Asas Ujian Mann-Whitney
Ujian Mann-Whitney digunakan untuk membandingkan median bagi dua kumpulan. Prinsip asasnya ialah:
1. Pemerhatian Peringkat: Semua data daripada kedua-dua kumpulan digabungkan dan disusun dari terkecil hingga terbesar. Jika terdapat nilai yang sama, setiap pemerhatian disusun mengikut purata kedudukannya yang betul.
2. Pengiraan Ujian Statistik: Nilai ujian statistik (U) dikira berdasarkan jumlah pangkat bagi setiap kumpulan. Terdapat dua cara pengiraan: satu bermula dengan kumpulan pertama dan satu lagi dengan kumpulan kedua.
– Formula umum untuk U ialah:
\[
U_1 = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_1
\]
atau
\[
U_2 = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_2
\]
Di mana:
– \(n_1\) dan \(n_2\) ialah bilangan pemerhatian dalam setiap kumpulan,
– \(R_1\) dan \(R_2\) ialah bilangan pangkat dalam setiap kumpulan.
3. Ujian Keertian: Ujian keertian dijalankan untuk menentukan nilai-p. Dalam keadaan saiz sampel yang besar, taburan U boleh dianggarkan melalui taburan normal.
Andaian dalam Ujian Mann-Whitney
Walaupun ujian Mann-Whitney merupakan ujian bukan parametrik dan tidak memerlukan andaian taburan normal, terdapat beberapa andaian berkaitan yang mesti dipenuhi untuk kesahan keputusan:
1. Kebebasan: Setiap pemerhatian dalam kedua-dua kumpulan mestilah bebas antara satu sama lain.
2. Skala Ordinal atau Selang: Data mestilah pada skala ordinal atau selang. Ini bermakna data boleh disusun dan mengandungi maklumat kedudukan.
3. Julat Taburan: Taburan kedua-dua kumpulan mesti mempunyai bentuk yang sama (walaupun median mungkin berbeza).
Langkah-langkah dalam Menjalankan Ujian Mann-Whitney
Berikut adalah langkah-langkah yang biasanya diikuti untuk melaksanakan Ujian Mann-Whitney:
1. Gabungkan dan Isih Data: Gabungkan data daripada kedua-dua kumpulan dan isihkannya secara keseluruhan. Kedudukan diberikan mengikut susunan dengan pelarasan untuk kedudukan yang terikat pada nilai min.
2. Kira Bilangan Kedudukan: Kira bilangan kedudukan bagi setiap kumpulan.
3. Menentukan Nilai-U Statistik: Gunakan formula yang dijelaskan sebelum ini untuk mengira nilai-U bagi kedua-dua kumpulan.
4. Menentukan Nilai Kritikal atau Nilai-p: Bandingkan nilai-U yang diperoleh dengan nilai kritikal daripada jadual taburan-U (atau kira nilai-p) untuk menentukan sama ada perbezaan antara kumpulan adalah signifikan secara statistik.
Contohnya, katakan kita mempunyai dua set data A dan B. Data ini mungkin mewakili dua terapi berbeza untuk penyakit tertentu, dan kita ingin tahu sama ada satu terapi lebih berkesan daripada yang lain.
Contoh Praktikal
Katakan kita mempunyai dua kumpulan terapi:
– Terapi A: [85, 90, 88, 75, 91]
– Terapi B: [80, 78, 95, 87, 92]
1. Menggabungkan dan Menyusun Data:
– Komposit: [85, 90, 88, 75, 91, 80, 78, 95, 87, 92]
– Susunan dan Kedudukan: [75(1), 78(2), 80(3), 85(4), 87(5), 88(6), 90(7), 91(8), 92(9), 95(10)]
2. Mengira Bilangan Pangkat:
– Bilangan penilaian Terapi A: 4 + 7 + 6 + 1 + 8 = 26
– Bilangan penilaian Terapi B: 3 + 2 + 10 + 5 + 9 = 29
3. Mengira Nilai U:
\[
U_A = n_1 \times n_2 + \frac{n_1 \times (n_1 + 1)}{2} – R_A = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 26 = 25 + 15 – 26 = 14
\]
\[
U_B = n_1 \times n_2 + \frac{n_2 \times (n_2 + 1)}{2} – R_B = 5 \times 5 + \frac{5 \times (5 + 1)}{2} – 29 = 25 + 15 – 29 = 11
\]
Pilih nilai U yang lebih kecil, iaitu U = 11.
4. Menentukan Kepentingan:
Bandingkan nilai U yang diperoleh dengan nilai U kritikal daripada jadual taburan Mann-Whitney atau hitung nilai p. Jika U kurang daripada nilai kritikal atau nilai p lebih rendah daripada alfa (cth., 0,05), kita menolak hipotesis nol dan membuat kesimpulan bahawa terdapat perbezaan yang signifikan antara kedua-dua kumpulan.
Kelebihan dan Kelemahan Ujian Mann-Whitney
Kelebihan:
1. Tak parametrik: Tidak memerlukan andaian taburan normal.
2. Fleksibiliti: Boleh digunakan apabila data berada pada skala ordinal atau mempunyai outlier.
3. Mudah dan Berkesan: Mudah dikira dan ditafsirkan.
Had:
1. Kehilangan Kecekapan: Dalam taburan normal, ujian-t adalah lebih cekap.
2. Andaian Bentuk Taburan yang Sama: Ujian ini menganggap bentuk taburan yang sama antara kedua-dua kumpulan.
3. Terikat pada Saiz Sampel Kecil: Taburan asimptotik mungkin kurang tepat pada sampel yang sangat kecil.
Kesimpulannya
Ujian Mann-Whitney merupakan alat bukan parametrik yang berkuasa dan fleksibel untuk mengenal pasti perbezaan antara dua kumpulan yang tidak berpasangan. Dengan memahami prinsip asas dan langkah pelaksanaannya, kita boleh menggunakan ujian ini dalam pelbagai aplikasi merentasi pelbagai bidang penyelidikan. Walaupun ia mempunyai beberapa batasan, kelebihannya dalam keadaan tertentu menjadikannya kaedah yang sangat berharga dalam statistik.
