Persamaan kesinambungan

Bahan Persamaan Kesinambungan

Cuba buka pili air perlahan-lahan sambil memerhatikan aliran air yang keluar dari pili. Setelah pili berhenti berputar, sekat sebahagian pili dengan tangan anda. Sekarang bandingkan aliran air yang mana lebih besar. Apabila sekat sebahagian atau tidak sekat? Jika anda mempunyai hos yang biasanya digunakan untuk menyiram bunga, biarkan air mengalir melaluinya. Sekat sebahagian hos dengan tangan atau jari anda. Lebih banyak bahagian hos yang tersekat, lebih cepat air akan mengalir keluar. Sebaliknya, jika hos tidak tersekat, air akan mengalir dengan kurang pantas. Mengapakah ini berlaku? Untuk memahami perkara ini, sila kaji persamaan kesinambungan.

Menyelaraskan dan Mengalirkan Tiub

Pertama sekali, mari kita fahami konsep aliran arus dan tiub aliran. Konsep ini penting kerana ia akan membantu anda memahami persamaan kesinambungan.

Aliran sungai

Lihat gambar di bawah, garisan biru itu ialah Streamline.

Dalam aliran stabil, halaju setiap zarah bendalir pada satu titik, katakan titik A, kekal malar. Semasa ia melalui titik B, halaju zarah bendalir mungkin berubah. Walau bagaimanapun, apabila tiba di titik B, zarah bendalir yang mengikuti di belakang terus mengalir pada halaju yang sama seperti zarah bendalir yang mendahuluinya. Perkara yang sama berlaku apabila tiba di titik C, dan seterusnya. Aliran ialah lengkung yang menghubungkan titik A, B, dan C.

Tiub aliran

Pada asasnya, kita boleh melukis setiap aliran melalui setiap titik dalam aliran bendalir. Jika kita mempertimbangkan aliran bendalir yang stabil, beberapa aliran yang melalui sudut tertentu pada luas permukaan khayalan (luas permukaan khayalan) membentuk tiub aliran. Tiada zarah bendalir yang bersilang antara satu sama lain tetapi sentiasa selari, dan tiub aliran akan menyerupai paip yang sentiasa mempunyai bentuk yang sama. Bendalir yang masuk di satu hujung tiub akan keluar dari tiub di hujung yang satu lagi.

Debit

Nyahcas menunjukkan isipadu bendalir yang mengalir melalui keratan rentas tertentu dalam selang masa tertentu. Secara matematik, ia boleh dinyatakan seperti berikut:

Untuk melanjutkan pemahaman anda, mari kita gunakan satu contoh. Katakan bendalir mengalir melalui paip. Paip biasanya berbentuk silinder dan mempunyai luas keratan rentas tertentu. Paip tersebut juga mempunyai panjang.

Apabila bendalir mengalir dalam paip sejauh L, maka isipadu bendalir dalam paip ialah V = AL (V = isipadu bendalir, A = luas keratan rentas dan L = panjang paip). Oleh kerana semasa aliran dalam paip di sepanjang L, bendalir bergerak dalam selang masa tertentu, maka kita boleh katakan bahawa magnitud nyahcas bendalir ialah:

Oleh kerana v = s/t = L/t —> L = vt, persamaan di atas ditukar kepada:

Oleh itu, apabila bendalir mengalir melalui paip yang mempunyai luas keratan rentas dan panjang tertentu untuk selang masa tertentu, magnitud nyahcas bendalir (Q) adalah sama dengan luas permukaan keratan rentas (A) didarab dengan halaju aliran bendalir (v).

Persamaan Kesinambungan

Pertimbangkan aliran bendalir dalam paip dengan diameter yang berbeza, seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Imej ini menunjukkan aliran bendalir dari kiri ke kanan (bendalir mengalir dari paip berdiameter besar ke paip berdiameter kecil). Garis putus-putus adalah garis arus.

Kapsyen imej: A ₁ = luas keratan rentas bahagian paip berdiameter besar, A ₂ = luas keratan rentas bahagian paip berdiameter kecil, v ₁ = halaju aliran bendalir dalam bahagian paip berdiameter besar, v ₂ = halaju aliran bendalir dalam bahagian paip berdiameter kecil, L = jarak yang dilalui oleh bendalir.

Dalam pengenalan kepada dinamik bendalir, telah dijelaskan bahawa dalam dinamik bendalir, kita membincangkan aliran bendalir yang tidak boleh dimampatkan, tidak likat, tidak bergelora, dan stabil. Dalam aliran stabil, halaju zarah bendalir pada satu titik adalah sama dengan halaju zarah bendalir lain yang melalui titik tersebut. Aliran bendalir juga tidak bersilang antara satu sama lain (garis arus adalah selari). Oleh itu, jisim bendalir yang memasuki satu hujung paip mestilah sama dengan jisim bendalir yang keluar dari hujung yang satu lagi. Jika bendalir dengan jisim tertentu memasuki paip berdiameter besar, maka bendalir tersebut akan keluar dari paip berdiameter kecil dengan jisim malar.

Sekarang, lihat gambar paip di atas. Lihat bahagian paip yang berdiameter besar dan bahagian paip yang berdiameter kecil.

Dalam selang masa tertentu, sejumlah bendalir mengalir melalui bahagian paip berdiameter besar (A).₁) setakat L₁ (L₁ = v₁ t). Isipadu bendalir yang mengalir ialah V₁ =A₁ L₁ =A₁ v₁ t. Dalam selang masa yang sama, kuantiti bendalir yang lain mengalir melalui keratan paip dengan diameter yang lebih kecil (A).₂) setakat L₂ (L₂ = v₂ t). Isipadu bendalir yang mengalir ialah V₂ =A₂ L₂ =A₂ v₂ t.

Persamaan Kesinambungan untuk Bendalir Tak Boleh Mampat (tidak boleh mampat)

Pertama, mari kita pertimbangkan kes bendalir tak boleh mampat. Dalam bendalir tak boleh mampat, ketumpatan, atau jisim, bendalir sentiasa sama pada setiap titik yang dilaluinya. Jisim bendalir yang mengalir dalam paip dengan luas keratan rentas A1 ₍ diameter besar paip) semasa selang masa tertentu ialah:

Begitu juga, jisim bendalir yang mengalir dalam paip dengan luas keratan rentas A ₂ (diameter paip kecil) semasa selang masa tertentu ialah:

Memandangkan dalam aliran stabil, jisim bendalir yang masuk adalah sama dengan jisim bendalir yang keluar, maka:

m1 = _m2​

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t (ketumpatan bendalir dan selang masa adalah sama jadi ia terbatal)

A ₁ lawan ₁ = A ₂ lawan ₂

Jadi, dalam bendalir tak termampat, persamaan kesinambungan terpakai:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂ — Persamaan 1

Penerangan:

A ₁ = luas keratan rentas 1, A ₂ = luas keratan rentas 2, v ₁ = halaju aliran bendalir pada keratan rentas 1, v ₂ = halaju aliran bendalir pada keratan rentas 2, A v = kadar aliran isipadu V/t atau nyahcas

Persamaan 1 menunjukkan bahawa kadar aliran isipadu, juga dikenali sebagai pelepasan, sentiasa sama pada setiap titik di sepanjang paip atau tiub aliran. Apabila keratan rentas paip berkurangan, kadar aliran bendalir meningkat; sebaliknya, apabila keratan rentas paip meningkat, kadar aliran bendalir berkurangan.

Apabila kita menutup sebahagian paip, aliran air menjadi lebih laju berbanding apabila paip ditutup sebahagiannya. Ini kerana luas keratan rentas paip berkurangan apabila paip ditutup sebahagiannya, lalu meningkatkan kadar aliran air (bendalir mengalir lebih laju). Perkara yang sama juga berlaku untuk hos. Walau bagaimanapun, adalah penting untuk ambil perhatian bahawa kadar pelepasan atau aliran volumetrik kekal sama di semua titik di sepanjang aliran air, sama ada paip ditutup sebahagiannya atau tidak. Jadi, apa yang berubah ialah kadar aliran bendalir.

Jadi bagaimana pula dengan aliran air di sungai? Bahagian sungai yang lebih dalam mempunyai keratan rentas yang lebih besar daripada bahagian yang lebih cetek, jadi kadar aliran air di bahagian yang lebih dalam adalah lebih rendah daripada bahagian yang lebih cetek. Jika anda melihat aliran sungai yang sangat tenang, itu bermakna sungai itu dalam. Tetapi jika sungai tiba-tiba menjadi deras, bahagian itu pasti cetek. Walau bagaimanapun, kadar aliran isipadu air sentiasa sama, sama ada di bahagian sungai yang dalam atau tenang.

Persamaan Kesinambungan untuk Bendalir Boleh Mampat (boleh dimampatkan)

Dalam kes bendalir boleh mampat , ketumpatan bendalir tidak selalunya sama. Dalam erti kata lain, ketumpatan bendalir berubah apabila dimampatkan. Manakala dalam bendalir tak boleh mampat , ketumpatan bendalir dihapuskan daripada persamaan, dalam kes ini, ketumpatan bendalir masih dimasukkan. Merujuk kepada persamaan yang telah diterbitkan sebelum ini, mari kita terbitkan persamaan untuk bendalir boleh mampat.

Memandangkan dalam aliran stabil, jisim bendalir yang masuk adalah sama dengan jisim bendalir yang keluar, maka:

m1 = _m2​

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t

Selang masa aliran bendalir adalah sama jadi ia boleh dihapuskan. Persamaan berubah kepada:

ρ A ₁ v ₁ = ρ A ₂ v ₂ → Persamaan 2

Ini adalah persamaan untuk bendalir boleh mampat. Satu-satunya perbezaan terletak pada ketumpatan bendalir. Apabila bendalir dimampatkan, ketumpatannya berubah. Sebaliknya, apabila bendalir tidak boleh mampat, ketumpatannya kekal malar dan boleh dibatalkan.

Contoh soalan 1:

Air mengalir melalui paip berdiameter 10 cm pada kelajuan 2 m/s. Berapakah kadar pelepasan air?

Perbincangan

Adalah diketahui bahawa:

Diameter paip = 10 cm (ini adalah diameter dalam paip)

Jejari paip (r) = 5 cm = 0,05 m

v air = 2 m/s

Ditanya: Debit

Jawapan:

Q = A v

Q = (πr² ⁾ (2 m/s)

Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)

Q = (3,14)(0,0025 m² ⁾ (2 m/s)

Q = 0,0157 m3 ^/ s

Contoh soalan 2:

Sebuah paip air berdiameter 20 cm disambungkan ke paip lain berdiameter 10 cm. Jika kadar aliran air dalam paip berdiameter 20 cm = 4 m/s, apakah kadar aliran air dalam paip berdiameter 10 cm itu?

Perbincangan

Adalah diketahui bahawa:

Diameter 1 = 20 cm (r1 ₌ 10 cm = 0,1 m)

v1 = ₄ m/s

Diameter 2 = 10 cm (r2 ₌ 5 cm = 0,05 m)

Ditanya: v ₁

Jawapan:

S1 = _S2​

A ₁ lawan ₁ = A ₂ lawan ₂

( π r ₁₂ ) (4 m/s) = (π r ₂₂ ) (v ₂ )

(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² (v ² )

(0,01 m² ⁾ (4 m/s) = (0,0025 m² ⁾ ( ^v² )

(0,04 m ³ /s) = (0,0025 m ² )(v ² )

v2 = ¹⁶ m/s