Contoh Masalah Membincangkan Vektor Kedudukan
Vektor merupakan konsep asas dalam matematik dan fizik, yang mewakili kuantiti dengan arah dan magnitud. Dalam pelbagai aplikasi, vektor sering digunakan untuk menggambarkan kedudukan, halaju, daya dan banyak parameter lain. Antara pelbagai jenis vektor, vektor kedudukan memainkan peranan penting dalam memetakan lokasi sesuatu titik dalam ruang.
Definisi Vektor Kedudukan
Vektor kedudukan ialah vektor yang menggambarkan lokasi titik relatif kepada asalan dalam sistem koordinat. Secara amnya, vektor kedudukan ditulis dalam bentuk koordinat Cartesian sebagai:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
Di sini, \(\mathbf{r}\) ialah vektor kedudukan, \(x\), \(y\), dan \(z\) ialah komponennya di sepanjang paksi \(x\), \(y\), dan \(z\), masing-masing, manakala \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), dan \(\mathbf{k}\) ialah vektor unit yang selari dengan paksi koordinat. Dalam ruang dua dimensi, komponen \(z\) secara amnya tidak wujud, jadi vektor kedudukan menjadi:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
Aplikasi Vektor Kedudukan
Contohnya, dalam fizik, vektor kedudukan memainkan peranan penting dalam menggambarkan gerakan objek. Kedudukan objek relatif kepada asalan (titik rujukan) boleh diwakili oleh vektor kedudukan. Tambahan pula, dalam kejuruteraan mekanikal, pengiraan daya dan momen sering melibatkan penggunaan vektor kedudukan.
Contoh Soalan dan Perbincangan Vektor Kedudukan
Soalan 1
Katakan terdapat dua titik dalam ruang 3D, titik A dengan koordinat \( (1, 2, 3) \) dan titik B dengan koordinat \( (4, 0, -2) \). Tentukan vektor kedudukan bagi titik A dan B. Di samping itu, kirakan vektor yang menghubungkan titik A ke titik B.
Perbincangan:
Vektor kedudukan untuk titik A:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
Vektor kedudukan untuk titik B:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
Seterusnya, untuk mencari vektor yang menghubungkan titik A ke titik B (dipanggil \(\mathbf{AB}\)), kita perlu menolak vektor kedudukan A daripada vektor kedudukan B:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
Jadi, gantikan dua vektor kedudukan di atas:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
Jadi, vektor yang menghubungkan titik A ke B ialah \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \).
Soalan 2
Jika titik P berada pada \((2, 3)\) dalam satah 2D, cari panjang (norma) vektor kedudukan \(\mathbf{r_P}\).
Perbincangan:
Vektor kedudukan titik P:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
Panjang vektor kedudukan \(\mathbf{r_P}\) boleh dikira menggunakan formula norma vektor (atau panjang):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Gantikan nilai \(x\) dan \(y\):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
Jadi, panjang vektor kedudukan \(\mathbf{r_P}\) ialah \(\sqrt{13}\).
Soalan 3
Katakan titik Q terletak pada \( (5, -4, 2) \). Cari sudut antara vektor kedudukan \(\mathbf{r_Q}\) dan paksi \(x\).
Perbincangan:
Vektor kedudukan titik Q:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
Untuk mencari sudut antara vektor \(\mathbf{r_Q}\) dan paksi \(x\), kita boleh menggunakan konsep hasil darab titik. Pertama, kita tentukan hasil darab titik antara \(\mathbf{r_Q}\) dan \(\mathbf{i}\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
Oleh kerana \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\), dan \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), maka:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
Norma bagi \(\mathbf{r_Q}\):
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
Norma bagi \(\mathbf{i}\) ialah 1, kerana \(\mathbf{i}\) ialah vektor unit.
Menggunakan formula darab titik untuk mencari sudut \(\theta\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Jadi sudut \(\theta\) antara vektor kedudukan \(\mathbf{r_Q}\) dan paksi \(x\) ialah:
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
Kesimpulannya
Vektor kedudukan memainkan peranan penting dalam sains dan kejuruteraan, terutamanya dalam pemetaan kedudukan objek dalam ruang koordinat. Contoh-contoh di atas menunjukkan cara mengira vektor kedudukan, panjangnya, dan sudut di antaranya dan paksi koordinat. Memahami konsep asas ini sangat berharga dalam menyelesaikan pelbagai masalah yang melibatkan ruang dan koordinat dalam matematik dan fizik.
