Contoh Soalan dan Perbincangan: Varians dan Sisihan Piawai Data Tunggal
Statistik merupakan cabang matematik yang berkaitan dengan pengumpulan, analisis, tafsiran, persembahan dan penyusunan data. Dua konsep penting dalam statistik ialah varians dan sisihan piawai. Artikel ini akan membincangkan secara terperinci cara mengira varians dan sisihan piawai bagi satu set data melalui beberapa contoh masalah.
Memahami Varians dan Sisihan Piawai
Varians ialah ukuran yang mengukur sejauh mana nombor dalam set data tersebar daripada min atau purata. Varians dinyatakan dalam unit kuasa dua data asal, menjadikannya selalunya sukar untuk ditafsirkan.
Sisihan piawai ialah punca kuasa dua bagi varians. Ia memberikan ukuran yang lebih intuitif tentang sejauh mana data secara amnya menyimpang daripada min kerana unitnya adalah sama dengan unit asal data.
Formula Umum
Bagi data tunggal, formula untuk varians \( \sigma^2 \) dan sisihan piawai \( \sigma \) bagi populasi adalah seperti berikut:
1. Varians (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Sisihan Piawai (σ):
\( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Di mana:
– \( N \) ialah bilangan data dalam populasi.
– \( x_i \) ialah nilai data ke-i.
– \( \mu \) ialah min atau purata data.
Jika kita mengira varians dan sisihan piawai sampel, maka formula di atas diubah suai sedikit:
1. Varians Sampel (s²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Sisihan Piawai Contoh:
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
Di mana:
– \( n \) ialah bilangan data dalam sampel.
– \( \bar{x} \) ialah min atau purata sampel.
Contoh Soalan dan Perbincangan
Contoh Soalan 1:
Memandangkan data berikut:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Kirakan varians dan sisihan piawai bagi data tersebut!
Langkah Penyelesaian:
1. Mengira Purata (Min) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Kira Perbezaan Antara Data dan Purata, Kemudian Kuasa Dua:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Menambah Semua Keputusan Kuasa Dua:
\[
\jumlah (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Mengira Varians (σ²) Data Populasi:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Nota: Oleh kerana data ini dinyatakan sebagai data populasi, kita bahagikan dengan 6.
5. Mengira Sisihan Piawai (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \approx 1.886
\]
Jadi, varians data ialah 3.559 dan sisihan piawai ialah 1.886.
Contoh Soalan 2:
Memandangkan data sampel berikut:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Kirakan varians dan sisihan piawai sampel tersebut!
Langkah Penyelesaian:
1. Mengira Purata (Min) \( \bar{x} \) :
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Kira Perbezaan Antara Data dan Purata, Kemudian Kuasa Dua:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Menambah Semua Keputusan Kuasa Dua:
\[
\jumlah (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Mengira Varians Sampel (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Nota: Oleh kerana ini adalah data sampel, kita bahagikan dengan 5 (n-1).
5. Mengira Sisihan Piawai:
\[
s = \sqrt{5.351} \approx 2.313
\]
Jadi, varians data sampel ialah 5.351 dan sisihan piawai ialah 2.313.
Kesimpulannya
Mengira varians dan sisihan piawai adalah penting untuk memahami bagaimana data tersebar dalam set tertentu. Walaupun varians memberikan ukuran teori penyebaran dalam kuasa dua unit asal, sisihan piawai mentafsir ukuran penyebaran dari segi unit asal data, menjadikannya lebih mudah difahami. Dalam analisis data, kedua-dua ukuran ini sering digunakan untuk menilai kebolehubahan data dan membuat keputusan statistik.
Dengan memahami langkah dan formula yang diperlukan, kita boleh mengira varians dan sisihan piawai dengan mudah untuk pelbagai situasi yang kita hadapi dalam pengumpulan dan analisis data harian. Semoga artikel ini dapat memberikan pemahaman yang lebih mendalam tentang konsep varians dan sisihan piawai dalam set data tunggal.
