Contoh Soalan Membincangkan Varians dan Sisihan Piawai Data Kumpulan
pengenalan
Dalam statistik, varians dan sisihan piawai adalah dua ukuran statistik yang penting untuk memahami penyebaran, atau penyebaran, data daripada min. Varians mengukur sejauh mana data tersebar daripada min, manakala sisihan piawai ialah punca kuasa dua varians, memberikan ukuran yang berada dalam unit yang sama dengan data asal.
Definisi
– Varians (σ² atau S²): Merupakan purata kuasa dua perbezaan antara setiap nilai data dan min data.
– Sisihan Piawai (σ atau S): Merupakan punca kuasa dua bagi varians.
Formula untuk Varians dan Sisihan Piawai Data Kumpulan
Untuk data kumpulan, kita menggunakan kekerapan data dalam setiap kelas. Berikut ialah formulanya:
Variasi
\[ S^2 = \frac{ \jumlah f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Sisihan Piawai
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Di mana:
– \( f_i \) = kekerapan setiap kelas.
– \( x_i \) = titik tengah setiap kelas.
– \( \bar{x} \) = purata data kumpulan.
– \( N \) = jumlah data.
Contoh Soalan dan Perbincangan
Andaikan kita mempunyai data pemberat untuk sekumpulan orang yang dikumpulkan ke dalam kelas.
| Selang Berat (kg) | Kekerapan (f) |
|—————————|—————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
Langkah pertama ialah menentukan titik tengah setiap kelas ( \( x_i \) ) dan kemudian hitung min (\( \bar{x} \)).
1. Mengira Titik Tengah ( \( x_i \) )
\[ \text{Titik Tengah} = \frac{\text{Had Bawah} + \text{Had Atas}}{2} \]
| Selang Berat (kg) | Kekerapan (f) | Titik tengah ( \( x_i \) ) |
|———————|—————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Mengira Purata ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \jumlah f_i x_i }{ N } \]
Jumlah data \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \jumlah f_i x_i = (2 \kali 52) + (5 \kali 57) + (8 \kali 62) + (7 \kali 67) + (3 \kali 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Jadi, purata (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. Mengira Varians ( \( S^2 \) )
Kita perlu mengira \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{align}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84
& (57 – 62.8)^2 = 33.64
& (62 – 62.8)^2 = 0.64
& (67 – 62.8)^2 = 17.64
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align}
\]
Mendarab dengan kekerapan:
\[
\begin{align}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \digandakan 118.84 = 237.68 \\
& 5 \darab 33.64 = 168.2 \\
& 8 \darab 0.64 = 5.12 \\
& 7 \darab 17.64 = 123.48 \\
& 3 \ darab 84.64 = 253.92
\end{align}
\]
\[
\jumlah f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Sekarang kita boleh mengira varians (\( S^2 \)):
\[ S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \lebih kurang 32.85 \]
4. Mengira Sisihan Piawai ( \( S \) )
Sisihan piawai ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \lebih kurang 5.73 \]
Kesimpulannya
Daripada contoh data di atas, kita dapat:
– Mengira purata berat badan: 62.8 kg
– Mengira varians: 32.85 kg²
– Mengira sisihan piawai: 5.73 kg
Tafsiran sisihan piawai adalah bahawa sisihan purata data berat daripada min adalah lebih kurang 5.73 kg. Ini menunjukkan penyebaran data relatif kepada min, yang boleh membantu membuat kesimpulan tentang sejauh mana pembolehubah data kita.
Pemahaman yang menyeluruh tentang varians dan sisihan piawai adalah penting, terutamanya bagi mereka yang bekerja dalam statistik, penyelidikan dan pengujian, kerana mereka cuba memahami data dalam bentuk kumpulan atau taburan. Mengetahui cara mengira dan mentafsir kedua-dua ukuran ini boleh membantu dalam membuat keputusan yang lebih baik berdasarkan data yang ada.
