Contoh Soalan Membincangkan Transformasi dalam Satah Cartesian
Transformasi dalam satah Cartesian merupakan topik penting dalam matematik, terutamanya geometri. Transformasi ini melibatkan pelbagai operasi seperti translasi, pantulan, putaran dan dilatasi, yang bertujuan untuk menggerakkan atau mengubah bentuk objek dalam satah dua dimensi. Artikel ini akan mengulas beberapa contoh masalah dan membincangkannya berkaitan dengan transformasi dalam satah Cartesian.
Jenis-jenis Transformasi
Sebelum kita beralih kepada contoh masalah, mari kita semak dahulu jenis transformasi berikut:
1. Terjemahan (Anjakan)
Translasi ialah anjakan titik atau objek pada satah pada jarak tertentu dalam arah tertentu. Translasi boleh ditakrifkan sebagai:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
dengan \(a\) dan \(b\) ialah jarak anjakan mendatar dan menegak.
2. Refleksi
Pantulan ialah pantulan sesuatu titik atau objek merentasi paksi, sama ada paksi-x, paksi-y atau garis lain. Contohnya, pantulan merentasi paksi-x:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
3. Putaran (Putaran)
Putaran ialah putaran titik atau objek di sekeliling titik pusat pada sudut tertentu. Putaran lawan arah jam pada sudut \(\theta\) boleh dinyatakan sebagai:
\[
(x, y) \anak panah kanan (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Dilatasi (Penskalaan)
Dilasi ialah perubahan saiz objek oleh faktor skala tertentu. Jika faktor skala ialah \(k\), dilatasi boleh dinyatakan sebagai:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Contoh Soalan dan Perbincangan
Soalan 1: Terjemahan
Soalan:
Lakukan translasi pada titik \(A(2, 3)\) dengan anjakan 5 unit ke kanan dan 4 unit ke atas.
Perbincangan:
Menterjemahkan unit \(5\) ke kanan bermaksud meningkatkan koordinat-x sebanyak \(5\). Pernyataan "4 unit ke atas" bermaksud meningkatkan koordinat-y sebanyak \(4\). Hasil terjemahan ialah:
\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]
Jadi titik \(A(2, 3)\) selepas terjemahan menjadi:
\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]
Jadi, titik \(A(2, 3)\) selepas translasi ialah \(A'(7, 7)\).
Soalan 2: Refleksi
Soalan:
Pantulkan titik \(B(-4, 7)\) pada paksi-y.
Perbincangan:
Pantulan pada paksi-y mengubah koordinat-x kepada negatif koordinat-x asal, manakala koordinat-y kekal sama.
\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]
Jadi titik \(B(-4, 7)\) selepas pantulan menjadi:
\[
(x, y) \ anak panah kanan (-(-4), 7) \ anak panah kanan (4, 7)
\]
Jadi, titik \(B(-4, 7)\) selepas pantulan terhadap paksi-y ialah \(B'(4, 7)\).
Soalan 3: Putaran
Soalan:
Putar titik \(C(1, 2)\) sebanyak \(90^\circ\) lawan arah jam dengan pusat berada di asalan \((0, 0)\).
Perbincangan:
Putaran \(90^\circ\) lawan arah jam boleh dinyatakan sebagai:
\[
(x, y) \ rightarrow (-y, x)
\]
Jadi titik \(C(1, 2)\) selepas putaran menjadi:
\[
(x, y) \ rightarrow (-2, 1)
\]
Jadi, titik \(C(1, 2)\) selepas putaran \(90^\circ\) lawan arah jam ialah \(C'(-2, 1)\).
Soalan 4: Dilasi
Soalan:
Luaskan titik \(D(3, 4)\) dengan faktor skala \(k = 2\).
Perbincangan:
Dilasi dengan faktor skala \(2\) bermaksud mendarabkan kedua-dua koordinat dengan \(2\).
\[
(x, y) \ rightarrow (2x, 2y)
\]
Jadi titik \(D(3, 4)\) selepas dilatasi menjadi:
\[
(x, y) \ anak panah (2 \ kali 3, 2 \ kali 4) \ anak panah (6, 8)
\]
Jadi, titik \(D(3, 4)\) selepas dilatasi dengan faktor skala \(2\) ialah \(D'(6, 8)\).
Soalan 5: Gabungan Transformasi
Soalan:
Pantulkan tentang paksi-x dan kemudian kembangkan dengan faktor skala \(k = 0.5\) pada titik \(E(8, -6)\).
Perbincangan:
Langkah pertama ialah merenungkan paksi-x:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \rightarrow (8, 6)
\]
Langkah kedua ialah melakukan dilatasi dengan faktor skala \(0.5\):
\[
(x, y) \ rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 \times 8, 0.5 \times 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Jadi, titik \(E(8, -6)\) selepas pantulan tentang paksi-x dan dilatasi mengikut faktor skala \(0.5\) ialah \(E'(4, 3)\).
Soalan 6: Transformasi dengan Putaran dan Translasi
Soalan:
Putar titik \(F(-3, 4)\) sebanyak \(180^\circ\) lawan arah jam, kemudian terjemahkan hasilnya dengan vektor \((2, -1)\).
Perbincangan:
Langkah pertama ialah memutar sebanyak \(180^\circ\) lawan arah jam:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \rightarrow (3, -4)
\]
Langkah kedua ialah melakukan translasi dengan vektor \((2, -1)\):
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \rightarrow (3+2, -4-1) \rightarrow (5, -5)
\]
Jadi, titik \(F(-3, 4)\) selepas putaran \(180^\circ\) dan translasi mengikut vektor \((2, -1)\) ialah \(F'(5, -5)\).
Kesimpulannya
Transformasi dalam satah Cartesian merupakan konsep penting dalam geometri, merangkumi pelbagai operasi seperti translasi, pantulan, putaran dan dilatasi. Dengan memahami bagaimana setiap jenis transformasi berfungsi, kita boleh mengubah kedudukan atau bentuk objek dalam satah dengan mudah. Melalui contoh-contoh di atas, kita dapat melihat aplikasi praktikal pelbagai transformasi dan bagaimana ia boleh digabungkan untuk mencapai transformasi yang lebih kompleks. Semoga artikel ini dapat membantu dalam memahami transformasi dalam satah Cartesian.
