Contoh Soalan Membincangkan Persamaan Garis Tangen kepada Bulatan
pengenalan
Persamaan tangen kepada bulatan merupakan topik penting dalam geometri analitik. Memahami cara menentukan persamaan tangen kepada bulatan boleh membantu menyelesaikan pelbagai masalah matematik pada peringkat pertengahan hingga lanjutan. Artikel ini akan membincangkan pelbagai contoh masalah dan kaedah untuk menentukan persamaan tangen kepada bulatan.
Definisi dan Teori Asas
Bulatan dalam satah koordinat biasanya boleh diwakili oleh persamaan kuadratik:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
dengan \((a, b)\) ialah titik pusat bulatan dan \(r\) ialah jejari bulatan.
Garis tangen kepada bulatan dari titik luaran ialah garis yang menyentuh bulatan tepat pada satu titik. Jika kita andaikan garis tersebut mempunyai persamaan:
\[ y = mx + c \]
maka keadaan bahawa garis \(y = mx + c\) akan bertangen dengan bulatan boleh dinyatakan dalam bentuk berikut:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
Dengan \(m\) ialah kecerunan garis tangen dan \(c\) ialah pemalar.
Formula Persamaan Garis Tangen
Bagi tangen kepada bulatan dengan pusat \((0,0)\) dan jejari \(r\), persamaannya pada titik \((x_1, y_1)\) pada bulatan ialah:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
Tetapi jika pusat bulatan berada pada titik \((a, b)\), maka persamaannya ialah:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]
Contoh Soalan dan Perbincangan
Soalan 1
Sebuah bulatan dengan pusat di \((3, 4)\) dan jejari 5 unit. Tentukan persamaan garis tangen dari titik \((6, 8)\).
Perbincangan:
Dalam masalah ini, kita diberi bulatan dengan pusat \((3, 4)\), jejari 5, dan kita mesti mencari persamaan garis tangen dari titik \((6, 8)\). Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikannya:
1. Sahkan bahawa titik \((6, 8)\) tidak berada di dalam bulatan: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
Jadi titik tersebut berada pada bulatan jadi ia boleh digunakan untuk mencari garis tangen.
2. Menggunakan formula:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3)(x – 3) + (8 – 4)(y – 4) = 5^2
\]
3. Permudahkan persamaan:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]
4. Membangunkan:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]
Persamaan garis tangen yang diperoleh ialah:
\[
3x + 4y = 50
\]
Soalan 2
Bulatkan dengan persamaan \[x^2 + y^2 = 16\]. Tentukan persamaan garis tangen dari titik \((4, 0)\).
Perbincangan:
Sebuah bulatan dengan pusat di \((0, 0)\) dan jejari 4 unit. Titik luaran yang diberikan ialah \((4, 0)\).
1. Menggunakan formula untuk bulatan dengan pusat \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]
2. Penggantian nilai:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]
3. Permudahkan:
\[
4x = 16
\]
\[
x = 4
\]
Ini bermakna, persamaan tangen yang kita ada ialah:
\[
x = 4
\]
Soalan 3
Bentuk garis yang bertangen dengan bulatan \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) pada titik \((-1, 5)\).
Perbincangan:
Sebuah bulatan dengan pusat di \((-2, 3)\) dan jejari 3 unit. Titik tangensi ialah \((-1, 5)\).
1. Sahkan bahawa titik tersebut terletak pada bulatan:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{tiada pada bulatan}
\]
Oleh itu, mungkin terdapat ralat dalam input soalan atau poin. Jika \((-2, 6)\) diberikan sebagai titik ketangensi:
2. Permudahkan:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
Penggantian:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
Keputusan:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3y-9=9
\]
\[
y = 6
Ternyata perkara itu & pers.:
y = 6 sememangnya sah.
Kombinasi semakan kesimpulan, hafal, 2 cara mengira.
sah/palsu..Ringkasan Tambahan itu gar. td 2; bentuk sahkan dengan (grid). plis perimeter semua liputan btns.
Sekian sahaja, terima kasih dan semoga ini bermanfaat untuk rakan-rakan saya.
Selain itu, pelajari konsep pengukuhan pemahaman.
Mereka yang sebelum ini tidak faham, insya-Allah akan mempunyai langkah pembedahan kritikal yang lebih terperinci.
\[
.fakta(n+x)=qa.\color{mencegah}-fu.
"
