Contoh Soalan Perbincangan tentang Taburan Normal
Taburan normal, juga dikenali sebagai taburan Gaussian, merupakan taburan kebarangkalian yang paling biasa digunakan dalam statistik. Taburan ini mempunyai bentuk loceng simetri, menunjukkan bahawa data disusun di sekitar min dan kebarangkalian ekstrem (nilai yang jauh daripada min) adalah rendah.
Dalam artikel ini, kita akan membincangkan pelbagai contoh masalah yang melibatkan taburan normal dan cara menyelesaikannya. Kita akan mulakan dengan memperkenalkan beberapa konsep asas dan kemudian beralih kepada contoh yang lebih kompleks.
Asas Taburan Normal
Taburan normal ialah taburan selanjar dengan dua parameter: min dan sisihan piawai (SD). Min menentukan pusat taburan, manakala sisihan piawai menentukan lebar taburan.
Ciri-ciri penting taburan normal:
1. Simetri: Taburan normal adalah simetri mengenai min.
2. Peraturan Empirikal (Peraturan Empirikal):
– Kira-kira 68% daripada data berada dalam lingkungan satu sisihan piawai daripada min.
– Kira-kira 95% daripada data berada dalam lingkungan dua sisihan piawai min.
– Kira-kira 99.7% daripada data berada dalam lingkungan tiga sisihan piawai min.
Contoh Soalan dan Perbincangan
Contoh Soalan 1: Mengira Skor-Z
Soalan: Satu peperiksaan mempunyai purata skor 70 dengan sisihan piawai 10. Seorang pelajar mendapat skor 80. Apakah skor-Z pelajar itu?
Penyelesaian:
Skor-Z ialah ukuran berapa banyak sisihan piawai sesuatu nilai daripada min.
Formula skor-Z:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Dimana:
– \( X \) ialah nilai yang diperhatikan.
– \( \mu \) ialah purata.
– \( \sigma \) ialah sisihan piawai.
Ia diketahui:
– \( X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
Penggunaan formula:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Jadi, skor-Z pelajar ialah 1, yang bermaksud skor 80 ialah satu sisihan piawai di atas min.
Contoh Soalan 2: Kebarangkalian Nilai Tertentu
Soalan: Dalam taburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 15, apakah kebarangkalian menemui nilai di bawah 85?
Penyelesaian:
Langkah-langkahnya:
1. Kira skor-Z untuk nilai \( X = 85 \):
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Gunakan jadual-Z atau kalkulator statistik untuk mencari kebarangkalian yang sepadan dengan skor-Z -1. Dalam jadual-Z, kebarangkalian skor-Z -1 adalah lebih kurang 0.1587.
Jadi, kebarangkalian menemui nilai di bawah 85 ialah 0.1587 atau 15.87%.
Contoh Soalan 3: Menggunakan Peraturan Empirikal
Soalan: Telah diketahui bahawa taburan skor ujian matematik di sekolah mengikuti taburan normal dengan min 75 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran pelajar yang mendapat skor antara 67 dan 83?
Penyelesaian:
Langkah-langkah:
1. Kira skor-Z untuk nilai 67 dan 83:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Mengikut peraturan empirikal, nilai antara -1 SD dan +1 SD daripada purata meliputi kira-kira 68% daripada populasi.
Jadi, perkadaran pelajar yang mendapat markah antara 67 dan 83 adalah kira-kira 68%.
Contoh Soalan 4: Mengira Nilai daripada Persentil
Soalan: Jika purata ketinggian lelaki dewasa di sesebuah negara ialah 175 cm dengan sisihan piawai 7 cm, apakah ketinggian pada persentil ke-90?
Penyelesaian:
Langkah-langkah:
1. Cari skor-Z yang sepadan dengan persentil ke-90. Berdasarkan jadual-Z, skor-Z yang paling hampir dengan 0.9000 adalah lebih kurang 1.28.
2. Gunakan formula untuk mengira nilai \( X \):
\[ X = \mu + Z \times \sigma \]
\[ X = 175 + 1.28 \kali 7 \]
\[ X = 175 + 8.96 \]
\[ X = 183.96 \]
Jadi, tinggi dalam persentil ke-90 ialah sekitar 183.96 cm.
Contoh Soalan 5: Kebarangkalian Selang Tertentu
Soalan: Memandangkan taburan berat bayi baru lahir mengikut taburan normal dengan min 3.5 kg dan sisihan piawai 0.5 kg, apakah kebarangkalian seorang bayi mempunyai berat antara 3 kg dan 4 kg?
Penyelesaian:
Langkah-langkah:
1. Kira skor-Z untuk nilai 3 kg dan 4 kg:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Kebarangkalian skor-Z antara -1 dan 1 berdasarkan jadual Z adalah lebih kurang 0.6826 atau 68.26%.
Jadi, kebarangkalian bayi dengan berat antara 3 kg dan 4 kg adalah kira-kira 68.26%.
Kesimpulannya
Taburan normal merupakan konsep asas dalam statistik yang penting dan mempunyai banyak aplikasi dunia sebenar. Dalam artikel ini, kami telah menerangkan konsep asas taburan normal dan menyelesaikan beberapa contoh untuk memperdalam pemahaman kami.
Memahami taburan normal bukan sahaja penting untuk statistik tetapi juga untuk pelbagai bidang praktikal seperti psikologi, ekonomi dan sains sosial yang lain. Dengan latihan yang mencukupi, menyelesaikan masalah taburan normal boleh menjadi lebih intuitif dan membantu dalam membuat keputusan berasaskan data.
