Contoh Soalan Membincangkan Jujukan dan Siri
Jujukan dan siri merupakan konsep asas dalam matematik, yang sering ditemui dari sekolah rendah hingga kolej. Jujukan ialah himpunan nombor yang disusun mengikut peraturan tertentu, manakala siri ialah hasil tambah sebutan jujukan tersebut. Dalam artikel ini, kita akan membincangkan beberapa contoh masalah dan jujukan dan siri.
Contoh 1: Turutan Aritmetik
Soalan:
Diberi satu jujukan aritmetik dengan sebutan pertama (a) = 3 dan beza (d) = 5. Tentukan:
1. Sebutan ke-10 bagi jujukan tersebut.
2. Hasil tambah 20 sebutan pertama bagi jujukan tersebut.
Perbincangan:
1. Penggal ke-10
Formula untuk suku ke-n bagi jujukan aritmetik ialah:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
Untuk penggal ke-10 (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Hasil tambah 20 Sebutan Pertama
Formula untuk hasil tambah n sebutan pertama (S_n) bagi jujukan aritmetik ialah:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
Untuk hasil tambah 20 suku pertama (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
Contoh 2: Siri Geometri
Soalan:
Diberi satu jujukan geometri dengan sebutan pertama (a) = 4 dan nisbah (r) = 2. Tentukan:
1. Sebutan ke-6 bagi jujukan tersebut.
2. Hasil tambah 8 sebutan pertama bagi jujukan tersebut.
Perbincangan:
1. Penggal ke-6
Formula untuk suku ke-n bagi jujukan geometri ialah:
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]
Untuk penggal ke-6 (U_6):
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]
2. Hasil tambah 8 Sebutan Pertama
Formula untuk hasil tambah n sebutan pertama (S_n) bagi jujukan geometri ialah:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
Untuk hasil tambah 8 suku pertama (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
Contoh 3: Siri Geometri Terhingga Konvergen
Soalan:
Diberi satu siri geometri dengan sebutan pertama (a) = 1 dan nisbah (r) = 1/2. Tentukan hasil tambah siri tak terhingga itu.
Perbincangan:
Formula untuk hasil tambah siri tak terhingga (S_∞) bagi siri geometri konvergen ialah:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Jadi untuk siri ini:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
Contoh 4: Jujukan dan Siri Nombor Kuasa Dua
Soalan:
Diberi jujukan nombor kuasa dua dengan sebutan pertama (U_1) = 1, sebutan kedua (U_2) = 4, dan sebutan ketiga (U_3) = 9. Tentukan sebutan ke-5 bagi jujukan tersebut. Adakah jujukan ini merupakan jujukan aritmetik atau geometri? Terangkan.
Perbincangan:
1. Penggal ke-5
Corak bagi jujukan nombor kuasa dua ialah:
\[
U_n = n^2
\]
Untuk penggal ke-5 (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Jenis Garisan
Untuk menyemak sama ada jujukan ini aritmetik atau geometri, semak perbezaan antara sebutan (beza sepunya) dan nisbah antara sebutan:
– Perbezaan antara istilah (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Oleh kerana perbezaannya tidak malar, jujukan ini bukanlah aritmetik.
– Nisbah antara suku (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Oleh kerana nisbah antara sebutan tidak malar, jujukan ini bukan geometri.
Jadi, jujukan nombor kuasa dua ini bukanlah jujukan aritmetik mahupun jujukan geometri, tetapi sebaliknya jujukan khas yang mengikuti corak nombor kuasa dua.
Contoh 5: Siri Aritmetik Tak Terhingga
Soalan:
Adakah mungkin untuk mengira hasil tambah siri aritmetik tak terhingga? Jika ya, berikan satu contoh. Jika tidak, terangkan mengapa.
Perbincangan:
Tidak seperti siri geometri, siri aritmetik tak terhingga biasanya tidak mempunyai hasil tambah terhingga. Ini kerana setiap sebutan meningkat atau menurun secara linear, jadi hasil tambahnya terus meningkat tanpa had.
Sebagai contoh, pertimbangkan siri aritmetik tak terhingga dengan sebutan pertama 1 dan beza sepunya 1:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]
Jika kita cuba menjumlahkannya, menjadi jelas bahawa siri tersebut tidak akan menumpu kepada nilai tetap, tetapi akan menghampiri infiniti. Oleh itu, hasil tambah siri aritmetik tak terhingga, secara amnya, adalah tak terhingga dan tidak boleh dikira seperti siri geometri penumpu.
-
Dalam artikel ini, kami telah membincangkan beberapa contoh masalah dan jujukan serta siri. Kami telah menyemak jujukan aritmetik dan geometri, melihat cara mengira sebutan ke-n dan hasil tambah sebutan pertamanya, dan menjawab soalan tentang siri tak terhingga. Dengan memahami konsep dan contoh asas ini, kami berharap anda akan berasa lebih yakin apabila mendekati jujukan dan siri dalam matematik.
