Contoh Soalan Membincangkan Peraturan untuk Mengisi Ruang
Peraturan pengisian tempat, atau peraturan penempatan, merupakan konsep asas dalam matematik dan kebarangkalian yang sangat berguna dalam banyak situasi. Peraturan ini biasanya digunakan dalam konteks menyusun objek dalam susunan tertentu atau dalam susunan yang berbeza. Dalam artikel ini, kita akan membincangkan beberapa contoh masalah yang melibatkan peraturan pengisian tempat, dengan memberikan penyelesaian terperinci untuk setiap satu.
pengenalan
Pengisian ruang merupakan teknik biasa yang digunakan dalam kombinatorik, bidang matematik yang mengkaji susunan, gabungan dan pemilihan objek. Salah satu prinsip asas kombinatorik ialah peraturan pendaraban, yang menyatakan bahawa jika terdapat beberapa peringkat dalam sesuatu proses dan setiap peringkat mempunyai bilangan pilihan tertentu, maka jumlah bilangan susunan yang mungkin boleh didapati dengan mendarabkan bilangan pilihan dalam setiap peringkat.
Contohnya, jika kita mempunyai dua peringkat di mana peringkat pertama mempunyai pilihan \(m\) dan peringkat kedua mempunyai pilihan \(n\), maka jumlah keseluruhan susunan yang mungkin ialah \(m \times n\).
Mari kita gunakan konsep ini untuk menyelesaikan beberapa contoh masalah.
Contoh 1: Menyusun Buku di atas Rak
Soalan:
Terdapat 5 buah buku yang berbeza dan sebuah rak buku dengan 5 ruang untuk diisi. Berapa banyak cara lima buah buku itu boleh disusun di atas rak?
Perbincangan:
Dalam kes ini, kita perlu menyusun lima buah buku dalam lima ruang yang berbeza. Ini adalah masalah permutasi kerana susunan adalah penting. Kita boleh menggunakan peraturan pengisian ruang atau peraturan pendaraban untuk menyelesaikan masalah ini.
1. Untuk bilik pertama, kami mempunyai 5 pilihan buku.
2. Selepas sebuah buku diletakkan di bilik pertama, kita mempunyai 4 pilihan buku yang tinggal untuk bilik kedua.
3. Untuk bilik ketiga, kita ada 3 pilihan buku yang tinggal, dan begitulah seterusnya.
Persamaan untuk jumlah tetapan ialah:
\[ 5 \darab 4 \darab 3 \darab 2 \darab 1 = 5! = 120 \]
Jadi, terdapat 120 cara untuk menyusun kelima-lima buah buku itu.
Contoh 2: Membina Perkataan daripada Huruf Berbeza
Soalan:
Berapa banyak perkataan berbeza yang boleh dibentuk menggunakan semua huruf dalam perkataan “MATEMATIK”, tanpa mengulanginya?
Perbincangan:
Mula-mula kita perlu melihat berapa banyak huruf dalam perkataan "MATHEMATICS". Terdapat 11 huruf, dan sebahagian daripadanya diulang. Huruf-huruf yang diulang ialah:
– M sebanyak 2
– Sebanyak 3
– T sebanyak 2
– Huruf-huruf lain (E, I, K) setiap satu muncul sekali.
Kita menggunakan formula permutasi untuk elemen berulang, iaitu:
\[ \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \ldots \times n_k!} \]
dengan \( n \) ialah jumlah bilangan elemen (huruf) dan \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) ialah bilangan pengulangan setiap elemen yang berbeza.
Dengan perkataan “MATEMATIK”:
\[ n = 11, n_1 = 2 \text{ (M)}, n_2 = 3 \text{ (A)}, n_3 = 2 \text{ (T)}, n_4 = 1 \text{ (E)}, n_5 = 1 \text{ (I)}, n_6 = 1 \text{ (K)} \]
Jadi bilangan perkataan yang boleh dibentuk ialah:
\[ \frac{11!}{2! \kali 3! \kali 2! \kali 1! \kali 1! \kali 1!} = \frac{39916800}{2 \kali 6 \kali 2 \kali 1 \kali 1 \kali 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]
Terdapat 1,663,200 perkataan berbeza yang boleh dibentuk.
Contoh 3: Menentukan Bilangan Kombinasi dalam Martabak
Soalan:
Seorang penjual martabak menawarkan lima pilihan inti (keju, coklat, kacang tanah, pisang dan kismis). Jika seorang pelanggan ingin memilih tiga daripada lima inti untuk martabak mereka, berapa banyak kombinasi berbeza yang boleh mereka pilih?
Perbincangan:
Ini adalah masalah gabungan, bukan permutasi, kerana tertibnya tidak penting. Kita menggunakan formula gabungan:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(nk)!} \]
di mana \(n \) ialah jumlah pilihan, dan \(k \) ialah bilangan pilihan yang diambil.
Untuk kes ini, \(n = 5 \) dan \(k = 3 \), jadi:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \times 2!} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \]
Terdapat 10 kombinasi berbeza untuk memilih 3 kandungan daripada 5 pilihan.
Contoh 4: Pengaturan Peserta dalam Perlawanan
Soalan:
Terdapat 8 orang peserta dalam satu larian. Berapa banyak cara 3 penamat teratas boleh diletakkan?
Perbincangan:
Ini adalah masalah permutasi tanpa pengulangan kerana kedudukan bermaksud susunan adalah penting. Kita menggunakan formula permutasi:
\[ P(n, k) = \frac{n!}{(nk)!} \]
Untuk kes ini, \( n = 8 \) dan \( k = 3 \), maka:
\[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{40320}{120} = 336 \]
Jadi, terdapat 336 cara untuk meletakkan tiga kedudukan teratas bagi 8 peserta.
Dalam artikel ini, kami telah membincangkan beberapa contoh masalah dan penyelesaiannya menggunakan peraturan pengisian ruang dalam pelbagai situasi: daripada menyusun buku di rak hingga menentukan pemenang pertandingan. Memahami asas-asas ini akan memberi anda lebih keyakinan dalam menyelesaikan pelbagai masalah kombinatorik dan kebarangkalian yang mungkin anda hadapi.
