पूर्णांक आणि त्यांचे गुणधर्म
पूर्णांक ही गणितातील सर्वात मूलभूत संकल्पनांपैकी एक आहे, तरीही दैनंदिन जीवनात ती महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावते. जेव्हा आपण वस्तू मोजतो, शून्याखालील तापमान निश्चित करतो, तळघरातील मजल्यांची संख्या मोजतो किंवा व्यवसायातील नफा-तोटा नोंदवतो, तेव्हा आपण प्रत्यक्षात पूर्णांकांशीच व्यवहार करत असतो. पूर्णांक आणि त्यांचे गुणधर्म समजून घेतल्याने अंकगणित, बीजगणित आणि अगदी उच्च-स्तरीय गणितीय संकल्पना शिकणे सोपे होईल.
पूर्णांकांची व्याख्या
पूर्णांक म्हणजे ऋण पूर्णांक, शून्य आणि धन पूर्णांक यांचा समावेश असलेला संख्यांचा संच. पूर्णांकांचा संच दर्शवण्यासाठी अनेकदा वापरले जाणारे चिन्ह Z आहे (जे 'Zahlen' या जर्मन शब्दावरून आले आहे, ज्याचा अर्थ 'संख्या' आहे). सर्वसाधारणपणे, पूर्णांक खालीलप्रमाणे लिहिले जाऊ शकतात:
…, -३, -२, -१, ०, १, २, ३, …
पूर्ण संख्यांमध्ये फक्त ० आणि धन संख्यांचा समावेश असतो, याउलट पूर्णांकांमध्ये ऋण संख्यांचाही समावेश असतो, त्यामुळे विविध परिस्थितींचे वर्णन करण्यासाठी त्या अधिक परिपूर्ण ठरतात.
दैनंदिन जीवनातील पूर्णांकांची उदाहरणे
पूर्णांक हे मानवी क्रियाकलापांशी जवळून निगडित आहेत. त्यांच्या वापराच्या काही उदाहरणांमध्ये यांचा समावेश होतो:
१. हवेचे तापमान: -५°C तापमान म्हणजे तापमान शून्यापेक्षा ५ अंश खाली आहे.
२. समुद्रसपाटीपासूनची उंची: -२० मीटर समुद्रसपाटीपासून २० मीटर खाली असलेली जागा असा अर्थ होऊ शकतो.
३. वित्त: -५०,००० ची शिल्लक ५०,००० चे कर्ज किंवा तूट दर्शवते.
४. इमारतीचा मजला: तळमजला -१ किंवा -२ सहसा तळघरासाठी वापरला जातो.
५. खेळाचा स्कोर: काही खेळांमध्ये, स्कोर वाढू किंवा कमी होऊ शकतो, त्यामुळे त्यात धन आणि ऋण संख्यांचा समावेश असतो.
या उदाहरणांवरून हे दिसून येते की शून्याला संदर्भ बिंदू मानून, पूर्णांक आपल्याला "पेक्षा जास्त", "पेक्षा कमी" किंवा "समान" या अवस्था व्यक्त करण्यास मदत करतात.
पूर्ण संख्या रेषा
पूर्ण संख्या समजून घेण्यासाठी, आपण अनेकदा संख्या रेषेचा वापर करतो. संख्या रेषा ही एक सरळ रेषा असते, जी संख्यांना विशिष्ट स्थानांवर ठेवते:
– धन संख्या शून्याच्या उजवीकडे असतात.
– ऋण संख्या शून्याच्या डावीकडे असतात.
– उजवीकडे जेवढे जास्त अंतर, तेवढे मूल्य जास्त असते.
– डावीकडे जितके जास्त जाल, तितके मूल्य कमी होईल.
संख्या रेषेच्या मदतीने आपण पूर्ण संख्यांची सहज तुलना करू शकतो. उदाहरणार्थ, -2 हा -5 पेक्षा मोठा आहे, कारण -2 हा -5 पेक्षा उजवीकडे अधिक आहे.
पूर्णांकांचे गुणधर्म
गणितीय क्रियांमध्ये पूर्णांकांचे अनेक महत्त्वाचे गुणधर्म आहेत. आकडेमोड करताना, बीजगणितीय राशी सोप्या करताना किंवा संकल्पना सिद्ध करताना हे गुणधर्म खूप उपयुक्त ठरतात.
१. बंद स्वरूप (बंद)
पूर्णांकांचा संच काही विशिष्ट क्रियांच्या बाबतीत संवृत असतो, म्हणजेच जर आपण पूर्णांकांवर त्या क्रिया केल्या, तर मिळणारा निकाल हा पूर्णांकच असेल.
– बेरीज: जर a आणि b पूर्णांक असतील, तर a + b सुद्धा एक पूर्णांक असतो.
उदाहरण: -3 + 7 = 4
– वजाबाकी: जर a आणि b पूर्णांक असतील, तर a − b सुद्धा एक पूर्णांक असतो.
उदाहरण: 5 − 12 = -7
– गुणाकार: जर a आणि b पूर्णांक असतील, तर a × b हा सुद्धा एक पूर्णांक असतो.
उदाहरण: (-4) × 6 = -24
तथापि, पूर्णांक नेहमीच भागाकाराच्या बाबतीत संवृत नसतात, कारण भागाकाराचा निकाल अपूर्णांक असू शकतो.
उदाहरण: 1 ÷ 2 = 1/2 (पूर्ण संख्या नाही).
२. क्रमविनिमेय गुणधर्म (विनिमय)
क्रमविनिमेय गुणधर्माचा अर्थ असा आहे की संख्यांचा क्रम बदलल्यास परिणाम बदलत नाही.
– बेरीज: a + b = b + a
उदाहरण: 2 + (-5) = (-5) + 2 = -3
– गुणाकार: a × b = b × a
उदाहरण: (-3) × 4 = 4 × (-3) = -12
हे लक्षात ठेवणे महत्त्वाचे आहे की वजाबाकी आणि भागाकार क्रमविनिमेय नसतात.
उदाहरण: 7 − 2 ≠ 2 − 7.
३. सहयोगी गुणधर्म (गट करणे)
साहचर्य गुणधर्माचा अर्थ असा आहे की, एखाद्या क्रियेमध्ये संख्यांची गटवारी ज्या पद्धतीने केली जाते, त्यामुळे निकालात बदल होत नाही.
– बेरीज: (a + b) + c = a + (b + c)
उदाहरण: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6
– गुणाकार: (a × b) × c = a × (b × c)
उदाहरण: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24
क्रमविनिमेय गुणधर्माप्रमाणेच, साहचर्य गुणधर्म देखील वजाबाकी आणि भागाकाराला लागू होत नाही.
४. वितरणात्मक गुणधर्म (पसरणे)
वितरणात्मक गुणधर्म गुणाकाराच्या क्रियांचा संबंध बेरीज किंवा वजाबाकीशी जोडतो:
– a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
उदाहरण: 3 × (2 + 5) = (3 × 2) + (3 × 5) = 6 + 15 = 21
– a × (b − c) = (a × b) − (a × c)
उदाहरण: 4 × (10 − 3) = 40 − 12 = 28
हा गुणधर्म बीजगणितीय रूपे सोपी करण्यासाठी आणि समीकरणे सोडवण्यासाठी खूप महत्त्वाचा आहे.
५. तत्समक घटक (बेरीज आणि गुणाकारातील तत्समक)
नित्य संख्या म्हणजे अशी संख्या, जिच्यावर क्रिया केल्यास दुसऱ्या संख्येचे मूल्य बदलत नाही.
– बेरीज नित्यसमानता 0 आहे: a + 0 = a
उदाहरण: -9 + 0 = -9
– गुणाकाराची नित्यसमानता 1 आहे: a × 1 = a
उदाहरण: 8 × 1 = 8
नित्यसमानता आपल्याला गणितीय क्रियांमधील तटस्थ संकल्पना समजण्यास मदत करतात.
६. व्यस्त घटक (विरुद्ध संख्या)
प्रत्येक पूर्णांकाला एक बेरीज व्यस्त असतो, म्हणजेच अशी संख्या जिची बेरीज 0 येते.
– a चा व्यस्त -a आहे, म्हणून: a + (-a) = 0
उदाहरण: 6 + (-6) = 0, आणि -4 + 4 = 0
तथापि, सर्व पूर्णांकांना गुणाकारात व्यस्त संख्या नसते. उदाहरणार्थ, 2 चा गुणाकारातील व्यस्त 1/2 आहे, जी एक पूर्णांक संख्या नाही.
७. ऑपरेशनमधील सकारात्मक आणि नकारात्मक चिन्हे
पूर्णांकांमध्ये, धन आणि ऋण चिन्हांमुळे गुणाकार आणि भागाकारात विशेष नियम लागू होतात:
– (+) × (+) = (+)
– (+) × (-) = (-)
– (-) × (+) = (-)
– (-) × (-) = (+)
उदाहरण:
– 3 × (-2) = -6
– (-5) × (-4) = 20
बेरीज आणि वजाबाकीसाठी, आपण अनेकदा संख्यारेषेची संकल्पना किंवा हा नियम वापरतो:
– ऋण संख्यांची बेरीज करणे हे “वजाबाकी” करण्यासारखेच आहे.
– ऋण संख्या वजा करणे हे “मिळवण्या”सारखेच आहे.
उदाहरण:
– 7 + (-3) = 4
– 5 − (-2) = 7
निष्कर्ष
पूर्णांक हा ऋण संख्या, शून्य आणि धन संख्या यांचा समावेश असलेला संख्यांचा संच आहे. या संख्या खूप महत्त्वाच्या आहेत कारण त्या जीवनातील विविध परिस्थितींचे वर्णन करू शकतात, जसे की शून्याखालील तापमान, आर्थिक नुकसान किंवा समुद्रसपाटीखालील ठिकाणे. पूर्णांकांमध्ये संवृत्त (बेरीज, वजाबाकी आणि गुणाकारासाठी), क्रमविनिमेय, सहयोगी, वितरणात्मक, तत्समक आणि बेरजेचा व्यस्त असे मूलभूत गुणधर्म देखील आहेत. पूर्णांकांचे गुणधर्म समजून घेतल्याने, आपण अधिक सहजपणे आकडेमोड करू शकू, क्रिया सोप्या करू शकू आणि बीजगणित, समीकरणे व इतर संख्या प्रणाली यांसारखे पुढील गणितीय विषय शिकू शकू.
तुमची इच्छा असल्यास, मी या लेखाची एक आवृत्ती प्राथमिक/माध्यमिक शाळेच्या स्तरासाठी (अधिक सोपी) किंवा सराव प्रश्न आणि चर्चेसह संपूर्ण निबंधासारखी अधिक औपचारिक आवृत्ती तयार करू शकेन.
