സാധ്യതാ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു എളുപ്പവഴി

സാധ്യതാ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു എളുപ്പവഴി

ദൈനംദിന ജീവിതവുമായി സാമ്യമുള്ളതിനാൽ, സ്കൂളുകളിൽ പ്രോബബിലിറ്റി ഒരു പതിവായി കണ്ടുവരുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര വിഷയമാണ്: ഒരു ഡൈസിൽ ഒരു സംഖ്യ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത മുതൽ ഒരു പെട്ടിയിൽ നിന്ന് ഒരു നിറമുള്ള പന്ത് വരയ്ക്കുന്നത് വരെ, ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു സംഭവം സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത വരെ. നിർഭാഗ്യവശാൽ, പ്രശ്നങ്ങൾ ലളിതമായി തോന്നുന്നതിനാൽ പല വിദ്യാർത്ഥികളും പ്രോബബിലിറ്റി "ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായി" കാണുന്നു, പക്ഷേ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പരിഗണിച്ചില്ലെങ്കിൽ ഉത്തരങ്ങൾ തെറ്റായിരിക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, പ്രോബബിലിറ്റി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് വളരെ എളുപ്പവും വ്യവസ്ഥാപിതവുമായ ഒരു മാർഗമുണ്ട്: അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുക, പ്രശ്ന തരം തിരിച്ചറിയുക, തുടർന്ന് ശരിയായ തന്ത്രം തിരഞ്ഞെടുക്കുക.

പ്രോബബിലിറ്റി പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ വേഗത്തിലും കൃത്യതയിലും പ്രവർത്തിക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്ന പ്രായോഗിക ഘട്ടങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഈ ലേഖനം ചർച്ച ചെയ്യും.

-

1. അവസരത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന ആശയം മനസ്സിലാക്കുക

പൊതുവേ, ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത \(A\) ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

\[
P(A) = \frac{\text{ }A-യെ പിന്തുണയ്ക്കുന്ന ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം {\text{സാധ്യമായ എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും എണ്ണം}}
\]

താക്കോൽ രണ്ട് കാര്യങ്ങളിലാണ്:

1. സാമ്പിൾ സ്പേസ് (S): സംഭവിക്കാവുന്ന എല്ലാ സാധ്യമായ ഫലങ്ങളും.
2. ഇവന്റ് (എ): ചോദിച്ച ചോദ്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സാമ്പിൾ സ്‌പെയ്‌സിന്റെ ഭാഗം.

എല്ലാ ഫലങ്ങളും ഒരുപോലെ സാധ്യതയുള്ളതാണെങ്കിൽ (ഉദാ. ഫെയർ ഡൈസ്, ഫെയർ കോയിനുകൾ), മുകളിലുള്ള ഫോർമുല നേരിട്ട് ഉപയോഗിക്കാം. അവ ഒരുപോലെ സാധ്യതയുള്ളതല്ലെങ്കിൽ, സാധ്യതകൾ സാധാരണയായി മറ്റ് മോഡലുകളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുന്നു (ഉദാ. ഫ്രീക്വൻസി ഡാറ്റ അല്ലെങ്കിൽ കണ്ടീഷണൽ പ്രോബബിലിറ്റി).

-

2. അവസര പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ദ്രുത ഘട്ടങ്ങൾ

വഴിതെറ്റുന്നത് ഒഴിവാക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന "പ്രവർത്തന ഫോർമുല" ഉപയോഗിക്കുക:

1. എന്താണ് ചോദിച്ചതെന്ന് എഴുതുക (ഏത് പരിപാടിക്കാണ് ആവശ്യപ്പെടുന്നത്?)
2. സാമ്പിൾ സ്ഥലം നിർണ്ണയിക്കുക (എത്ര സാധ്യമായ ഫലങ്ങൾ ഉണ്ട്?)
3. അഭ്യർത്ഥിച്ച ഇവന്റിനെ പിന്തുണയ്ക്കുന്ന ഫലങ്ങൾ കണക്കാക്കുക.
4. ലാഭ പങ്കിടൽ മൊത്തം ഫലങ്ങളെ പിന്തുണയ്ക്കുന്നു
5. ഭിന്നസംഖ്യ ലളിതമാക്കി അത് ലോജിക്കൽ ആണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക (സംഭാവ്യത 0 നും 1 നും ഇടയിലായിരിക്കണം)

2 ഉം 3 ഉം ഘട്ടങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കാത്തതിനാലാണ് മിക്ക പിശകുകളും സംഭവിക്കുന്നത്.

-

3. ആവശ്യമെങ്കിൽ പട്ടികകൾ, ട്രീ ഡയഗ്രമുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ലിസ്റ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

രണ്ടോ അതിലധികമോ പരീക്ഷണങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് (ഉദാ: ഒരു നാണയം രണ്ടുതവണ എറിയുക, ഒരു കാർഡ് രണ്ടുതവണ വരയ്ക്കുക), ദൃശ്യ രീതികൾ വളരെ സഹായകരമാണ്.

a) മേശ
നാണയങ്ങൾ, ഡൈസ് തുടങ്ങിയ രണ്ട് ലളിതമായ വേരിയബിളുകൾക്ക് അനുയോജ്യം.

b) വൃക്ഷ രേഖാചിത്രം
ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള പരീക്ഷണങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യം, പ്രത്യേകിച്ച് "തിരിച്ചുവരവ് ഇല്ല" എന്ന അവസ്ഥ ഉണ്ടെങ്കിൽ (വസ്തുക്കളുടെ എണ്ണം മാറുന്നു).

സി) സാമ്പിൾ സ്‌പേസ് അംഗങ്ങളുടെ പട്ടിക
ചെറിയ സാമ്പിൾ ഇടങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യം.

ഈ രീതിയിൽ, നിങ്ങൾ ഊഹിക്കേണ്ടതില്ല.

-

4. ക്ലാസിക് പ്രോബബിലിറ്റി ചോദ്യങ്ങളും ദ്രുത പരിഹാരങ്ങളും

എ. ഡൈസിലെ അവസരങ്ങൾ
ഡൈസിന് 6 വശങ്ങളുണ്ട്: \(\{1,2,3,4,5,6\}\)

ഉദാഹരണം: ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത.

– സാമ്പിൾ സ്പേസ് \(S = 6\)
– \(A = \{2,4,6\}\) എന്ന സംഭവം 3 ആണ്
– \(പി(എ) = 3/6 = 1/2\)

ദ്രുത തന്ത്രം: "ആകെ 6" എന്നതിന് പകരം എപ്പോഴും "എത്ര ഫിൽ" എന്ന് എണ്ണുക.

-

ബി. ഒരു നാണയത്തിലെ അവസരം
ഒരു നാണയത്തിന് രണ്ട് വശങ്ങളുണ്ട്: തലകൾ (A) തലകൾ (G).

ഉദാഹരണം: ഒരു നാണയം ഒരിക്കൽ എറിയുമ്പോൾ ഒരു ചിത്രം ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത.
– ആകെ 2
– പിന്തുണ 1
– സാധ്യത \(=1/2\)

രണ്ടുതവണ എറിഞ്ഞാൽ:
– സാമ്പിൾ സ്‌പെയ്‌സ്: \(\{AA, AG, GA, GG\}\) ആകെ 4

ദ്രുത നുറുങ്ങ്: സ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങൾക്ക്, ആകെ സാധ്യത സാധാരണയായി \(2^n\) (നാണയങ്ങൾക്ക്) ഉം \(6^n\) (പകിടകൾക്ക്) ഉം ആണ്.

-

സി. ബോക്സിൽ നിന്ന് ഒരു പന്ത് എടുക്കാനുള്ള സാധ്യത (മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാലും മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാലും)

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പെട്ടിയിൽ 3 ചുവന്ന പന്തുകളും 2 നീല പന്തുകളും (ആകെ 5) ഉണ്ട്.

1) റിട്ടേണോടെ
പന്ത് തിരികെ നൽകുമ്പോൾ ഓരോ തവണയും 2 തവണ എടുക്കുക. ചുവപ്പ് നിറവും നീല നിറവും എടുക്കാനുള്ള സാധ്യത:
– ചുവപ്പ് നിറത്തിനുള്ള സാധ്യത: \(3/5\)
– പിന്നെ നീല (അത് തിരികെ നൽകിയതിനാൽ, അത് നിലനിൽക്കുന്നു): \(2/5\)
– \(പി = (3/5)(2/5)=6/25\)

2) റിട്ടേണുകൾ ഇല്ല
തിരികെ വരാതെ 2 തവണ എടുക്കുക. ചുവപ്പ്, പിന്നെ നീല എന്നിവയുടെ സാധ്യത:
– ആദ്യത്തെ ചുവപ്പ് സാധ്യതകൾ: \(3/5\)
– ശേഷിക്കുന്ന 4 പന്തുകൾ, ശേഷിക്കുന്ന നീല അവശിഷ്ടങ്ങൾ 2 → രണ്ടാമത്തെ നീല സാധ്യത: \(2/4\)
– \(P = (3/5)(2/4)=6/20=3/10\)

പ്രധാന വ്യത്യാസം: മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാതെ, ആകെ പന്തുകളുടെ എണ്ണം കുറയുന്നതിനാൽ ഡിനോമിനേറ്റർ മാറുന്നു.

-

5. സങ്കലന, പൂരക നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക

A. സങ്കലന നിയമം (OR)
"A അല്ലെങ്കിൽ B" സാധ്യതകൾ ചോദിച്ചാൽ, ഉപയോഗിക്കുക:

\[
പി(എ \കപ്പ് ബി) = പി(എ) + പി(ബി) – പി(എ \കപ്പ് ബി)
\]

– \(എ \കപ്പ് ബി \): എ അല്ലെങ്കിൽ ബി (അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും)
– \(A \cap B\): ഒരേ സമയം A ഉം B ഉം

ലളിതമായ ഉദാഹരണം: ഡൈസ്, ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയോ 3 ന്റെ ഗുണിതമോ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത.
– ഇരട്ടി: {2,4,6} → 3
– 3 ന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ: {3,6} → 2
– കഷണങ്ങൾ (ഇരട്ടയും 3 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളും): {6} → 1
– Peluang: \((3/6)+(2/6)-(1/6)=4/6=2/3\)

ബി. പൂരകം (എതിർവശത്ത്)
"സംഭവിച്ചില്ല" എന്ന് എണ്ണി 1 ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നത് പലപ്പോഴും എളുപ്പമാണ്.

\[
പി(എ) = 1 – പി(എ^സി)
\]

ഉദാഹരണം: ഒരു നാണയം 3 തവണ എറിയുമ്പോൾ ഒരു തവണയെങ്കിലും ഒരു "തല" പ്രത്യക്ഷപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത.
ഒരു സംഖ്യയുടെ 1,2,3 ഗുണനഫലമായി എണ്ണുന്നതിനു പകരം അതിന്റെ പൂരകത്തെ എണ്ണുക:
– പൂരകം: സംഖ്യകളൊന്നുമില്ല = എല്ലാ അക്കങ്ങളും (GGG)
– \(P(\ടെക്സ്റ്റ്{GGG}) = (1/2)^3 = 1/8\)
– അപ്പോൾ \(P(\text{കുറഞ്ഞത് 1 സംഖ്യ}) = 1 – 1/8 = 7/8\)

"കുറഞ്ഞത് ഒന്ന്", "കുറഞ്ഞത് ഒന്ന്", "കുറഞ്ഞത്" എന്നീ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഈ തന്ത്രം വളരെ ജനപ്രിയമാണ്.

-

6. സോപാധിക സാധ്യതകൾ: അധിക വിവരങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുക

കണ്ടീഷണൽ പ്രോബബിലിറ്റി എന്നാൽ A സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെ അർത്ഥമാക്കുന്നത് B ഇതിനകം സംഭവിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ:

\[
പി(എ|ബി)=\frac{പി(എ \ക്യാപ് ബി)}{പി(ബി)}
\]

"ചുവന്ന പന്ത് വരച്ചതായി അറിയാം" അല്ലെങ്കിൽ "തിരഞ്ഞെടുത്ത വിദ്യാർത്ഥി ഒരു പെൺകുട്ടിയാണെന്ന് അറിയാം" പോലുള്ള അധിക വിവരങ്ങൾ ഉള്ളപ്പോൾ സാധാരണയായി ഇത്തരത്തിലുള്ള ചോദ്യം പ്രത്യക്ഷപ്പെടും.

എളുപ്പവഴി:
1. അവസ്ഥ B യിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുക (സാമ്പിൾ സ്ഥലം B യിലേക്ക് മാത്രമായി ചുരുങ്ങുന്നുവെന്ന് കരുതുക)
2. B യുമായി ചേരുന്നവയിൽ നിന്ന് A യുമായി ചേരുന്നവയെ എണ്ണുക.

-

7. ഏറ്റവും സാധാരണമായ തെറ്റുകൾ

1. പകരം വയ്ക്കാത്തപ്പോൾ സാമ്പിൾ സ്ഥലം മാറ്റാൻ മറന്നു.
2. "അല്ലെങ്കിൽ" എന്ന വാക്കിന്റെ തെറ്റായ വ്യാഖ്യാനം (ചിലപ്പോൾ രണ്ടും അർത്ഥമാക്കുന്നു).
3. "മിനിമം" / "മോസ്റ്റ്" എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് കൃത്യതയില്ലാത്തത്; പൂരകങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.
4. സംഭവങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമല്ലെന്ന് കരുതുക (തിരിച്ചടി കൂടാതെ അവ സ്വതന്ത്രമല്ല).
5. ലളിതമാക്കരുത്, യുക്തി പരിശോധിക്കരുത് (സംഭാവ്യതാ ഫലം >1 ആകരുത്).

-

8. വേഗത്തിൽ പ്രാവീണ്യം നേടാനുള്ള നുറുങ്ങുകൾ പരിശീലിക്കുക

– എഴുതാൻ ശീലിക്കുക: \(S\), \(A\), നിരവധി അംഗങ്ങൾ \(n(S)\), \(n(A)\).
– ട്രീ ഡയഗ്രമുകൾ ഉപയോഗിച്ച് "രണ്ട്-ഘട്ട" പ്രശ്നങ്ങൾ പരിശീലിക്കുക.
– പൂരകങ്ങളോടെ "കുറഞ്ഞത് ഒരു" ചോദ്യമെങ്കിലും പരിശീലിക്കുക.
– നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഉത്തരം ലഭിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, പരിശോധിക്കുക: ഇത് അർത്ഥവത്താണോ? ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത "സംഭവിക്കാൻ സാധ്യതയുണ്ട്" എങ്കിൽ, അതിന്റെ മൂല്യം സാധാരണയായി 0 ന് അടുത്തല്ല, 1 ന് അടുത്തായിരിക്കും.

-

പെനുട്ടപ്പ്

സാമ്പിൾ സ്‌പെയ്‌സ് നിർവചിക്കുക, ഇവന്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക, തുടർന്ന് അനുപാതം കണക്കാക്കുക എന്നിങ്ങനെ വ്യവസ്ഥാപിത ഘട്ടങ്ങൾ സ്ഥിരമായി ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ സാധ്യതാ പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് യഥാർത്ഥത്തിൽ എളുപ്പമാണ്. കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്‌നങ്ങൾക്ക്, പട്ടികകൾ അല്ലെങ്കിൽ ട്രീ ഡയഗ്രമുകൾ പോലുള്ള ദൃശ്യ സഹായികൾ ഉപയോഗിക്കുക, കൂടാതെ സങ്കലനം, ഗുണനം, പൂരക നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക. മതിയായ പരിശീലനവും പ്രശ്‌നങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുന്നതും ഉപയോഗിച്ച്, സാധ്യത ഇനി "തന്ത്രപരമായി" തോന്നില്ല, പകരം ദൈനംദിന സംഭവങ്ങളുമായി അടുത്തിരിക്കുന്നതിനാൽ യഥാർത്ഥത്തിൽ ആസ്വാദ്യകരമായ ഗണിതത്തിന്റെ ഭാഗമായി മാറും.

നിങ്ങൾക്ക് വേണമെങ്കിൽ, സാധ്യതാ ചോദ്യങ്ങളുടെ 10 ഉദാഹരണങ്ങളും അവയുടെ വിശദീകരണങ്ങളും (എളുപ്പത്തിൽ നിന്ന് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളത് വരെ) ഞാൻ ഉണ്ടാക്കാം, അങ്ങനെ നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ പരിശീലിക്കാൻ കഴിയും.