Лесен начин за решавање проблеми со веројатност
Веројатноста е често среќавана математичка тема во училиштата поради нејзината близина до секојдневниот живот: од веројатноста број да се појави на коцка, до извлекување обоена топка од кутија, до веројатноста за настан што се случува врз основа на податоци. За жал, многу ученици ја сметаат веројатноста за „незгодна“ бидејќи проблемите изгледаат едноставни, но одговорите можат да бидат погрешни ако не се внимателно разгледани. Сепак, постои прилично лесен и систематски начин за решавање на проблеми со веројатност: разбирање на основните концепти, идентификување на типот на проблем, а потоа избор на вистинската стратегија.
Оваа статија ќе разгледа практични чекори што ќе ви помогнат да бидете побрзи и попрецизни кога работите на проблеми со веројатност.
-
1. Разберете ја основната идеја за можност
Општо земено, веројатноста на настанот \(A\) е запишана како:
\[
P(A) = \frac{\text{број на исходи што ја поддржуваат }A}{\text{број на сите можни исходи}}
\]
Клучот лежи во две работи:
1. Простор на примероци (S): сите можни исходи што можат да се појават.
2. Настан (A): дел од примерочниот простор што одговара на поставеното прашање.
Ако сите исходи се подеднакво веројатни (на пр., фер коцки, фер монети), тогаш формулата погоре може да се користи директно. Ако не се подеднакво веројатни, веројатностите обично се пресметуваат од други модели (на пр., податоци за фреквенција или условна веројатност).
-
2. Брзи чекори за решавање на проблеми со можности
За да избегнете губење, користете ја следната „работна формула“:
1. Запишете што се бара (за кој настан се бара?)
2. Определете го примерочниот простор (колку можни исходи има?)
3. Пресметајте ги резултатите што го поддржуваат бараниот настан.
4. Споделувањето на профитот ги поддржува вкупните резултати
5. Поедноставете ја дропката и проверете дали е логична (веројатноста мора да биде помеѓу 0 и 1)
Повеќето грешки се јавуваат затоа што чекорите 2 и 3 не се јасни.
-
3. Доколку е потребно, користете табели, дијаграми на дрвја или листи.
За проблеми што вклучуваат два или повеќе обиди (на пр., фрлање паричка двапати, извлекување карта двапати), визуелните методи се многу корисни.
а) Табела
Погодно за две едноставни променливи, на пример монети и коцки.
б) Дијаграм на дрво
Погодно за експерименти чекор-по-чекор, особено ако постои услов „без враќање“ (бројот на објекти се менува).
в) Список на членови на примерокниот простор
Погодно за мали простори за примероци.
На овој начин, не мора да претпоставувате.
-
4. Класични прашања за веројатност и брзи решенија
A. Шанси на коцки
Коцките имаат 6 страни: \(\{1,2,3,4,5,6\}\)
Пример: веројатноста да се добие парен број.
– Простор за примероци \(S = 6\)
– Настанот \(A = \{2,4,6\}\) е 3
– \(P(A) = 3/6 = 1/2 \)
Брз трик: секогаш бројте „колку се пополни“ наместо „вкупно 6“.
-
Б. Случајност на паричка
Паричката има две страни: Глави (А) и Глави (Г).
Пример: веројатноста да се добие слика кога паричка се фрла 1 пат.
– Вкупно 2
– Поддршка 1
– Шанса \(=1/2\)
Ако се фрли двапати:
– Простор за примероци: \(\{AA, AG, GA, GG\}\) вкупно 4
Брз совет: за независни обиди, вкупната веројатност е обично \(2^n\) (за монети) и \(6^n\) (за коцки).
-
C. Веројатност за земање топка од шеснаесетникот (со замена и без замена)
На пример, една кутија содржи 3 црвени топчиња и 2 сини топчиња (вкупно 5).
1) Со враќање
Земете 2 пати, секој пат кога топката ќе се врати. Веројатноста да се земе црвена, па сина:
– Шанса за црвена боја: \(3/5\)
– Потоа сино (бидејќи беше вратено, останува): \(2/5\)
– \(P = (3/5)(2/5)=6/25\)
2) Нема враќање
Земете 2 пати без враќање. Шанси за црвена, па сина боја:
– Први црвени коефициенти: \(3/5\)
– 4 преостанати топчиња, преостанатите сини остануваат 2 → втора сина веројатност: \(2/4\)
– \(P = (3/5)(2/4)=6/20=3/10\)
Клучната разлика: без замена, именителот се менува бидејќи вкупниот број на топчиња се намалува.
-
5. Користете ги правилата за собирање и дополнување
A. Правило за собирање (ИЛИ)
Ако се праша за коефициенти „А или Б“, користете:
\[
P(A ≤ шолја Б) = P(A) + P(B) – P(A ≤ шолја Б)
\]
– \(A \шолја Б\): A или B (или и двете)
– \(A \cap B\): A и B истовремено
Едноставен пример: коцки, веројатноста да се добие парен број или повеќекратник од 3.
– Парни: {2,4,6} → 3
– Множители на 3: {3,6} → 2
– Парчиња (парни и повеќекратни од 3): {6} → 1
– Peluang: \((3/6)+(2/6)-(1/6)=4/6=2/3\)
Б. Комплемент (спротивен)
Често е полесно да се изброи „не се случува“, а потоа да се одземе од 1.
\[
P(A) = 1 – P(A^c)
\]
Пример: веројатноста „глави“ да се појават барем еднаш кога паричка ќе се фрли 3 пати.
Наместо да броите 1, 2, 3 пати на број, пресметајте го неговиот комплемент:
– Комплемент: воопшто нема броеви = сите бројки (GGG)
– \(P(\text{GGG}) = (1/2)^3 = 1/8\)
– Значи \(P(\text{минимум 1 број}) = 1 – 1/8 = 7/8\)
Овој трик е многу популарен за прашања од типот „барем едно“, „барем едно“, „најмалку“.
-
6. Условни коефициенти: обрнете внимание на дополнителни информации
Условната веројатност значи веројатноста за појава на А, под услов Б веќе да се случило:
\[
P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\]
Овој тип на прашање обично се појавува кога има дополнителни информации, на пример „познато е дека црвеното топче е извлечено“ или „познато е дека избраната ученичка била девојка“.
Лесниот начин:
1. Фокусирајте се на условот Б (претпоставете дека примерочниот простор се стеснува само на Б)
2. Од оние што го задоволуваат Б, пребројте ги оние што го задоволуваат и А.
-
7. Најчести грешки
1. Заборавив да го сменам просторот за примероци кога немав замена.
2. Погрешно толкување на зборот „или“ (понекогаш означува и двете).
3. Не е прецизен со „минимум“ / „најмногу“; подобро е да се користат комплементи.
4. Претпоставувајќи дека настаните се независни кога не се (без враќање тие не се независни).
5. Не поедноставувајте и не ја проверувајте логиката (резултатот од веројатноста не смее да биде >1).
-
8. Вежбајте совети за брзо да станете вешти
– Навикнете се да пишувате: \(S\), \(A\), многу членови \(n(S)\), \(n(A)\).
– Вежбајте „двостепени“ проблеми со дијаграми на дрво.
– Вежбајте „барем едно“ прашање со дополнувања.
– Откако ќе го добиете одговорот, проверете: дали има смисла? Ако веројатноста за некој настан е „веројатно да се случи“, нејзината вредност е обично поблиску до 1, а не поблиску до 0.
-
Затворање
Решавањето на проблемите со веројатност е всушност лесно ако постојано користите систематски чекори: дефинирајте го примерочниот простор, одредете ги настаните, а потоа пресметајте го односот. За посложени проблеми, користете визуелни помагала како што се табели или дијаграми на дрвја и користете ги правилата за собирање, множење и комплементација. Со доволно вежбање и внимателно читање на проблемите, веројатноста повеќе нема да се чувствува како „измама“, туку наместо тоа ќе стане дел од математиката што е всушност пријатно бидејќи е блиска до секојдневните настани.
Ако сакате, можам да направам и 10 примери на прашања за веројатност заедно со нивните објаснувања (од лесно до тешко) за да можете веднаш да вежбате.
