Ohatra amin'ny fanontaniana sy fifanakalozan-kevitra momba ny fiasa mitombo, ny fiasa mihena, ary ny fiasa tsy mihetsika
Lohahevitra lalina ny asa matematika ary feno toetra isan-karazany, ny iray amin'izany dia ny fomba ahafahana mamakafaka azy ireo amin'ny lafiny fitomboana, fihenana, na tsy fihetsehana. Ny fahafantarana raha mitombo, mihena, na tsy miovaova ny asa iray amin'ny elanelam-potoana iray dia tena ilaina amin'ny fampiharana matematika isan-karazany, anisan'izany ny toekarena, fizika ary injeniera. Ity lahatsoratra ity dia handrakotra ohatra sy ny fifanakalozan-kevitra momba azy ireo mifandraika amin'ny asa mitombo, mihena, ary tsy fihetsehana.
Inona avy ireo fiasa mitombo, fiasa mihena, ary fiasa tsy mihetsika?
1. Fungsi Naik : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan naik pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \leq f(x_2) \). 2. Fungsi Turun : Sebaliknya, fungsi \( f(x) \) dikatakan turun pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x_1 \) dan \( x_2 \) di \( I \) dengan \( x_1 < x_2 \), kita memiliki \( f(x_1) \geq f(x_2) \). 3. Fungsi Diam : Suatu fungsi \( f(x) \) dikatakan diam pada suatu interval \( I \) jika untuk setiap \( x \) di \( I \), fungsi tersebut memiliki nilai yang sama, yakni \( f(x) = c \) untuk setiap \( x \) di \( I \), dengan c adalah konstanta. Contoh Soal 1: Menentukan Interval Fungsi Naik Diberikan fungsi \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5 \). Tentukan interval dimana fungsi tersebut naik! Pembahasan: Untuk menentukan interval di mana fungsi naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan kemudian analisis tanda dari turunan tersebut. 1. Langkah 1: Mencari turunan pertama : \[ f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 12x + 5) \] \[ f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 \] 2. Langkah 2: Menentukan titik kritis : Titik kritis adalah titik di mana turunan pertama bernilai nol atau tidak terdefinisi. \[ 6x^2 - 6x - 12 = 0 \] Membagi seluruh persamaan dengan 6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Kita faktorkan persamaan kuadrat ini: \[ (x-2)(x+1) = 0 \] Jadi, titik kritis adalah \( x = 2 \) dan \( x = -1 \). 3. Langkah 3: Menentukan tanda turunan pertama pada interval yang dibentuk oleh titik kritis : Kita akan membuat tabel tanda untuk \( f'(x) \) pada interval \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 2) \), dan \( (2, \infty) \). - Untuk \( x \in (-\infty, -1) \): Ambil \( x = -2 \) \[ f'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \] Karena \( f'(-2) > 0 \), maka \( f(x) \) naik pada interval \( (-\infty, -1) \).
– Ho an'ny \( x \in (-1, 2) \): Raiso \( x = 0 \)
\[ f'(0) = 6(0)^2 – 6(0) – 12 = -12 \]
Koa satria \( f'(0) < 0 \), dia mihena ny \( f(x) \) mandritra ny elanelam-potoana \( (-1, 2) \). - Ho an'ny \( x \in (2, \infty) \): Raiso \( x = 3 \) \[ f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \] Koa satria \( f'(3) > 0 \), dia mitombo ny \( f(x) \) mandritra ny elanelam-potoana \( (2, \infty) \).
Noho izany, mitombo ny asa \( f(x) \) mandritra ny elanelam-potoana \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \).
Ohatra amin'ny Olana 2: Famaritana ny elanelam-potoanan'ny asa mihena
Raha omena ny asa \(g(x) = 4x^4 – 8x^3 + 2 \). Fantaro ireo elanelam-potoana izay ihenan'ny asa!
Dinika:
1. Dingana 1: Tadiavo ny derivative voalohany:
g'(x) = d/dx (4x^4 – 8x^3 + 2)
g'(x) = 16x^3 – 24x^2
2. Dingana 2: Farito ny teboka manan-danja:
\[ 16x^3 – 24x^2 = 0 \]
\[ 8x^2(2x – 3) = 0 \]
Koa ireo teboka manan-danja dia \( x = 0 \) sy \( x = \frac{3}{2} \).
3. Dingana 3: Fantaro ny famantarana ny derivative voalohany eo amin'ny elanelam-potoana:
– Ho an'ny \( x \in (-\infty, 0) \): Raiso \( x = -1 \)
g'(-1) = 16(-1)^3 – 24(-1)^2 = -16 – 24 = -40
Karena \( g'(-1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (-\infty, 0) \).
- Untuk \( x \in (0, \frac{3}{2}) \): Ambil \( x = 1 \)
\[ g'(1) = 16(1)^3 - 24(1)^2 = 16 - 24 = -8 \]
Karena \( g'(1) < 0 \), maka \( g(x) \) turun pada interval \( (0, \frac{3}{2}) \).
- Untuk \( x \in (\frac{3}{2}, \infty) \): Ambil \( x = 2 \)
\[ g'(2) = 16(2)^3 - 24(2)^2 = 128 - 96 = 32 \]
Karena \( g'(2) > 0 \), maka \( g(x) \) naik pada interval \( (\frac{3}{2}, \infty) \).
Noho izany, mihena ny asa \( g(x) \) mandritra ny elanelam-potoana \( (-\infty, 0) \cup (0, \frac{3}{2}) \).
Ohatra Fanontaniana 3: Famaritana ny elanelam-potoanan'ny asa iray rehefa tsy mihetsika
Raha omena ny asa \( h(x) = 7 \), dia farito ny elanelam-potoana izay tsy mihetsika ny asa!
Dinika:
Ny asa tsy miova toy ny \( h(x) = 7 \) dia manana derivative voalohany amin'ny aotra ho an'ny \( x \ rehetra):
\[ h'(x) = 0 \]
Koa satria aotra foana ny derivative voalohany, dia mijanona amin'ny sehatra iray manontolo ny asa, ka azontsika lazaina fa mijanona amin'ny isa tena izy rehetra ny asa \( h(x) = 7 \) , izay amin'ny fanamarihana elanelany dia \( (-\infty, \infty) \).
Famaranana
Ny fahatakarana ny elanelam-potoanan'ny fitomboan'ny, fihenan'ny, ary ny tsy fihetsehan'ny asa iray dia ampahany tena ilaina amin'ny famakafakana ny asa. Amin'ny alalan'ireo ohatra etsy ambony ireo, dia noresahintsika ireo foto-kevitra fototra sy dingana ilaina mba hahitana ireo elanelam-potoana ireo. Tena ilaina tokoa io fahalalana io amin'ny fampiharana matematika isan-karazany azo ampiharina sy ara-teorika.
