Raksts par Poiseuilles vienādojumu
Puazeila vienādojumu atklāja Žans Luijs Marija Puazeijs (1799–1869). Kā paskaidrots, katru šķidrumu var uzskatīt par ideālu šķidrumu. Ideālam šķidrumam nav viskozitātes. Ja pieņemam, ka ideāls šķidrums plūst caurulē, katra šķidruma daļa pārvietojas ar vienādu ātrumu (v). Atšķirībā no ideālā šķidruma, reālajam šķidrumam, ar ko mēs sastopamies ikdienas dzīvē, ir viskozitāte. Tā kā tam ir viskozitāte, tad, piemēram, plūstot caurulē, katras šķidruma daļas ātrums mainās. Šķidruma slānis, kas atrodas vidū, pārvietojas ātrāk (dziļais v), turpretī šķidruma slānis, kas piestiprināts pie caurules, nekustas (v = 0). Tātad no caurules vidus līdz malai katra šķidruma daļa pārvietojas ar atšķirīgu ātrumu. Lai atvieglotu izpratni, aplūkojiet attēlu zemāk.
R = caurules/caurules rādiuss
v 1 = šķidruma plūsmas ātrums vidējā/caurules asī
v² = šķidruma plūsmas ātrums, kas ir r² attālumā no caurules malas
v 3 = šķidruma plūsmas ātrums r 3 no caurules malas
v 4 = šķidruma plūsmas ātrums r 4 no caurules malas
r = attālums
Lai katras šķidruma daļas plūsmas ātrums būtu vienāds, caurules vai jebkuras caurules, caur kuru šķidrums plūst, abos galos ir jābūt spiediena starpībai. Ar šķidrumu šeit tiek domāts reāls šķidrums, piemēram, ūdens vai eļļa, kas plūst caur cauruli, asinis, kas plūst asinsvadā utt. Papildus tam, ka spiediena starpība palīdz reālam šķidrumam plūst vienmērīgi, tā var arī likt šķidrumiem plūst dažāda augstuma caurulēs.
Žans Luijs Marija Puazeijs, bijušais franču zinātnieks, kuru interesēja cilvēka asinsrites fizikālie aspekti, veica pētījumus, lai noskaidrotu, kā tādi faktori kā spiediena atšķirības, caurules šķērsgriezuma laukums un caurules izmērs ietekmē reālo šķidruma ātrumu. Žana Luija Marija Puazeija iegūtie rezultāti ir pazīstami kā Puazeija vienādojums.
Puazeila vienādojumu var atvasināt, izmantojot iepriekš aprēķinātu viskozitātes koeficienta vienādojumu. Mēs izmantojam viskozitātes vienādojumu, jo gadījumi ir līdzīgi, lai gan tie nav vienādi. Atvasinot viskozitātes koeficienta vienādojumu, mēs aplūkojam reālā šķidruma slāņa plūsmu starp divām paralēlām plāksnēm, un šķidrums var kustēties pievilkšanās (F) dēļ. Atšķirība ir tāda, ka Puazeila vienādojums, ko mēs atvasināsim, nosaka faktorus, kas ietekmē reālā šķidruma plūsmu caurulē/caurulītē un šķidruma plūsmu spiediena starpības dēļ. Tāpēc viskozitātes koeficienta vienādojums ir jāpielāgo vēlreiz.
Šķidrums var plūst spiediena starpības dēļ (šķidrums plūst no vietas ar augstu spiedienu uz vietu, kur spiediens ir zems), tad F aizstājam ar p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ).
Atvasinot viskozitātes koeficienta vienādojumu, mēs aplūkojam reālā šķidruma slāņa plūsmu starp divām paralēlām plāksnēm. Katra šķidruma daļa maina savu regulāro ātrumu par l. Šajā gadījumā šķidruma plūsmas ātrums regulāri mainās no caurules ass līdz caurules malai. Šķidrums caurules asī plūst ar lielāku (v) ātrumu. Jo lielāka mala, jo mazāks šķidruma ātrums. Caurules rādiuss = attālums starp caurules asi un caurules malu = R. Attālums starp katru šķidruma daļu un caurules malu = r. Tā kā katras šķidruma daļas daudzums ir milzīgs un attālums no caurules malas ir atšķirīgs, mēs rakstām šādi:
v1 = šķidruma ātrums attālumā r1 no caurules malas (r1 = R)
v² = šķidruma ātrums , kas atrodas attālumā r² no caurules malas ( r² < r¹ )
v3 = šķidruma ātrums attālumā r3 no caurules malas ( r3 < r2 < r1 )
v4 = šķidruma ātrums attālumā r4 no caurules malas ( r4 < r3 < r2 < r1 )
............................................. ..
v n = šķidruma ātrums attālumā rn no caurules malas (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
Katras šķidruma daļas daudzums ir milzīgs, un mēs arī precīzi nezinām, cik liels šis daudzums patiesībā ir, tāpēc pietiek to uzrakstīt ar simbolu n. Katra šķidruma daļa regulāri maina ātrumu (v) no caurules ass (r1 = R) līdz caurules malai (rn). No caurules ass (r1 = R) līdz caurules malai (rn) katras šķidruma daļas ātrums ir mazāks (v1 > v2 > v3 > v4 > ….> vn ).
No iepriekš minētā skaidrojuma var secināt, ka no R līdz rn šķidruma ātrums samazinās. Caurules garums = L. Iegūtais vienādojums:
Tā kā mēs pārskatām šķidruma plūsmas ātrumu , tad 2. vienādojums kļūst par šādu:
Šis ir šķidruma plūsmas ātruma vienādojums attālumā r no caurules ar rādiusu R. Ja, aplūkojot attēlu iepriekš, rodas neskaidrības… Lūdzu, ņemiet vērā, ka šķidrums plūst caurulē, tāpēc mums jāpārskata šķidruma tilpuma plūsmas ātrums.
Caurules iekšpusē ir šķidrums. Piemēram, mēs sadalām šķidrumu sīkās daļās, kur katras daļas laukuma vienība ir dA, tā ir atdalīta no caurules ass, un tās plūsmas ātrums ir v. Matemātiski to var uzrakstīt šādi:
dA 1 = šķidruma daļa 1, kas ir dr 1 attālumā no caurules ass
dA 2 = šķidruma daļa 2, kas ir dr 2 attālumā no caurules ass
dA 3 = šķidruma daļa 3, kas atrodas dr 3 attālumā no caurules ass
..................................
dAn = šķidruma daļa n, kas ir attālums dn no caurules ass
Šķidruma daļu ir ļoti daudz, tāpēc to vienkārši pieraksta ar simbolu n, lai tas būtu praktiskāk. Katras šķidruma daļas tilpuma plūsmas ātrumu matemātiski var uzrakstīt šādi:
Katra šķidruma daļa atrodas attālumā no r = 0 līdz r = R (R = caurules rādiuss). Citiem vārdiem sakot, katras šķidruma daļas attālums mainās, mērot no caurules ass. Mēs iegūsim šķidruma tilpuma plūsmas ātruma vienādojumu caurulē:
Q = Izplūde, R = caurules vai caurulītes rādiuss, η = viskozitātes koeficients, P1 – p2 = Spiediena starpība starp caurules abiem galiem, L = caurules garums, p1 -p2 / L = Spiediena gradients ( šķidruma plūsma vienmēr ir spiediena krituma virzienā)
Balstoties uz iepriekš minēto Puaseja vienādojumu, šķiet, ka šķidruma tilpuma plūsmas ātrums (Q) ir proporcionāls caurules rādiusam (R 4 ), spiediena gradientam (p 2 – p 1 / L) un apgriezti proporcionāls viskozitātei. Ja pieskaita caurules rādiusu (viskozitātes koeficientu un fiksēto spiediena gradientu), tad šķidruma plūsmas ātrums palielinās 16 reizes.
Cauruļu projektēšanas pamatkoncepcijā izmantojiet šo vienādojumu. Šķidruma izplūde ir proporcionāla R 4 (R = caurules rādiuss). Šļirces vai caurules pirkstu rādiuss ir rūpīgi jāaprēķina. Piemēram, ja mēs dubultojam adatas rādiusu (rx 2), izsmidzinātā šķidruma izplūde = palielina īkšķa saspiešanas spēku 16 reizes.
Puaseja vienādojums arī parāda, ka rādiuss (r 4 ) ir apgriezti proporcionāls spiediena starpībai starp abiem caurules galiem. Piemēram, asinis vispirms plūst asinsvadā, kura iekšējais rādiuss ir r. Ja notiek artēriju sašaurināšanās (piemēram, r/2 = asinsvadu rādiuss samazinās divas reizes),
tad, lai asinis plūstu tāpat kā iepriekš (lai plūsmas ātrums būtu nemainīgs), ir nepieciešama 16 reižu spiediena starpība.
