Binomiālā sadalījuma paredzamā vērtība
Binomiālais sadalījums ir viens no statistikā un varbūtību teorijā visbiežāk sastopamajiem diskrētajiem varbūtību sadalījumiem. Šis sadalījums apraksta veiksmīgu iznākumu skaitu neatkarīgu bināro izmēģinājumu sērijā (izmēģinājumi ar tikai diviem rezultātiem: veiksmīgu iznākumu vai neveiksmi). Lai labāk izprastu binominālo sadalījumu, ir svarīgi izprast paredzamās vērtības jēdzienu, kas apraksta atkārtota izmēģinājuma vidējo vērtību ilgtermiņā. Šajā rakstā tiks pārskatīts paredzamās vērtības jēdziens binominālā sadalījuma kontekstā.
Binomiālā sadalījuma definīcija
Binomiālais sadalījums rodas kontekstos, kuros veicam vairākus identiskus un neatkarīgus izmēģinājumus, un katram izmēģinājumam ir divi savstarpēji izslēdzoši rezultāti, ko parasti sauc par “veiksmēm” un “neveiksmēm”. Piemēram, monētas mešana (cilvēks vai aste), atbilde uz eksāmena jautājumu (patiesi vai nepatiesi) vai medicīnisks izmēģinājums (izārstēts vai neizārstēts).
Binomiālo sadalījumu nosaka divi parametri:
– n , mēģinājumu skaits.
– p , katra mēģinājuma veiksmes varbūtība.
Aptuveni runājot, ja X ir nejaušs mainīgais, kas attēlo izdošanās reižu skaitu n mēģinājumos, tad X atbilst binominālajam sadalījumam ar parametriem n un p, kas apzīmēti kā X ~ Binomial(n, p).
Varbūtības funkcija
Binomiālā sadalījuma varbūtības funkcija ir šāda:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
di mana:
– \( \binom{n}{k} \) ir binomiālais koeficients, kas tiek aprēķināts kā \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(k \) ir vēlamais izdošanās reižu skaits.
– \(n \) ir mēģinājumu skaits.
– \(p \) ir katra mēģinājuma veiksmes varbūtība.
– \( (1-p) \) ir neveiksmes varbūtība katrā mēģinājumā.
Paredzamā vērtība
Varbūtības sadalījuma paredzamā vērtība jeb vidējais rādītājs ir viens no svarīgākajiem centrālās atrašanās vietas mērījumiem. Binomiālā sadalījuma gadījumā nejaušā mainīgā X paredzamā vērtība, kas seko Binomial(n, p), ir:
\[ E(X) = np \]
Paredzamās vērtības pierādījums
Lai saprastu, kāpēc binomiālā sadalījuma paredzamā vērtība ir np, mēs varam izmantot paredzamās vērtības linearitātes īpašību un redzēt, kā binārie mainīgie summējas, veidojot savu ieguldījumu.
Definēsim \(X \) kā izdošanās reižu skaitu n bināros mēģinājumos. Precīzāk, pieņemsim, ka \(X_i \) ir nejaušs mainīgais, kas apzīmē i-tā mēģinājuma iznākumu, kur \(X_i = 1 \), ja i-tais mēģinājums ir veiksmīgs, un \(X_i = 0 \), ja tas ir neveiksmīgs. Tad mēs varam uzrakstīt \(X \) kā:
\[X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Tā kā katrs \(X_i \) ir binārs mainīgais ar veiksmes varbūtību p, \(X_i \) paredzamā vērtība ir:
\[E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]
Mēs varam izmantot paredzamās vērtības linearitātes īpašību paredzamajai X vērtībai:
\[E(X) = E(X_1 + X_2 + ⋅ punkti + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ E(X) = np \]
Tas parāda, ka binomiālā sadalījuma paredzamā vērtība ir np.
Ilustratīvs piemērs
Apsveriet gadījumu, kad mēs 10 reizes uzmetam taisnīgu monētu. Pajautāsim, kāda būtu paredzamā vērtība apmetumu skaitam, kas rezultējas ģerbonī.
Šajā gadījumā:
– n = 10 (monētas mešanas reižu skaits)
– p = 0.5 (galvas iegūšanas varbūtība, jo monēta ir taisnīga)
Tātad, paredzamā vērtība ir:
\[E(X) = np = 10 x 0.5 = 5 \]
Tas nozīmē, ka, ja ilgtermiņā 10 reizes atkārtoti metīsim monētu, vidēji 5 reizes uzkritīs ģerbonis.
Dispersija un standartnovirze
Papildus paredzamajai vērtībai ir svarīgi saprast arī binomiālā sadalījuma dispersiju un standartnovirzi.
Binomiālajam sadalījumam dispersija \( \sigma^2 \) un standartnovirze \( \sigma \) ir šādas:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
[\sigma = \sqrt{np(1-p)}]
Dispersija mēra, cik tālu dati atšķiras no paredzamās vērtības. Standartnovirze ir dispersijas kvadrātsakne un arī mēra datu izkliedi, bet tajās pašās mērvienībās kā sākotnējie dati.
Secinājums
Binomiālais sadalījums ir fundamentāls jēdziens statistikā un varbūtību teorijā, ar ko bieži saskaras dažādos reālās pasaules pielietojumos, sākot no biznesa līdz sociālajām zinātnēm un bioloģijai. Binomiālā sadalījuma paredzamā vērtība, kas aprēķināta kā np, sniedz svarīgu ieskatu vidējā veiksmes skaitā bināro mēģinājumu sērijā. Izprotot paredzamās vērtības, dispersijas un standartnovirzes jēdzienus, mēs varam iegūt skaidrāku izpratni par binomiālā sadalījuma īpašībām un to, kā tas apraksta noteiktas parādības ikdienas dzīvē.
Šīs zināšanas ir ārkārtīgi noderīgas ne tikai datu analīzē un statistikā, bet arī lēmumu pieņemšanā, kas prasa varbūtības un nenoteiktības novērtēšanu. Paredzamās vērtības un binomiālā sadalījuma izpratne var palīdzēt mums veikt precīzākas prognozes un pieņemt pamatotākus lēmumus.
