Matemātiskās pierādīšanas metodes
Pierādīšana matemātikā ir šīs disciplīnas pamatā. Pierādīšanas metodes ir pamats matemātiska apgalvojuma patiesuma nodrošināšanai. Sākot no pamatpieņēmumiem līdz secinājumiem, katram solim ir jāgarantē derīgums. Dažādu pierādīšanas metožu izpratne ne tikai stiprina analītiskās prasmes, bet arī bagātina mācību pieredzi un matemātikas pielietošanu dažādās jomās.
Šajā rakstā tiks aplūkotas dažas no galvenajām pierādīšanas metodēm matemātikā, tostarp tiešais pierādījums, netiešais pierādījums (pretruna un pretruna), matemātiskā indukcija un pierādījums ar konkrētu piemēru. Katrai metodei ir atšķirīgs pielietojums, stiprās un vājās puses. Izpētīsim tās sīkāk.
1. Tiešs pierādījums
Definīcija un piemēri
Tiešais pierādījums ir metode, kurā mēs pierādām apgalvojumu, parādot, ka, ja telpas (pieņēmumi) ir patiesi, tad arī secinājums ir patiess. Tiešajā pierādījumā mēs parasti sākam ar to, kas ir zināms, un izmantojam loģiskus soļus, lai nonāktu pie secinājuma.
Konts:
Pierādiet, ka, ja \(n\) ir pāra skaitlis, tad \(n^2\) arī ir pāra skaitlis.
Pierādījums:
Pieņemsim, ka \(n\) ir pāra skaitlis. Tad saskaņā ar pāra skaitļa definīciju var rakstīt, ka \(n = 2k\) kādam veselam skaitlim \(k\). Tādējādi,
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
Ir skaidrs, ka \(n^2\) var izteikt kā 2 vesela skaitļa reizes (t. i., \(2k^2\)). Tā kā galvenā prasība pāra skaitlim ir tāda, lai to varētu izteikt kā 2 vesela skaitļa reizes, tad \(n^2\) arī ir pāra skaitlis.
2. Netiešie pierādījumi
Netiešais pierādījums ietver divas galvenās pieejas: pierādījumu ar pretstatījumu un pierādījumu ar pretrunu.
a. Pretrunas pierādījums
Definīcija un piemēri
Šī metode ietver implikatīvā apgalvojuma “ja \(P\), tad \(Q\)” pierādīšanu, pierādot apgalvojuma kontrapozitīvu: “ja ne \(Q\), tad ne \(P\)”.
Konts:
Pierādiet, ka, ja \(n^2\) ir nepāra skaitlis, tad \(n\) arī ir nepāra skaitlis.
Pierādījums:
Apgalvojuma pretstats ir šāds: ja \(n\) nav nepāra (vai pāra) skaitlis, tad \(n^2\) nav nepāra (vai pāra) skaitlis.
Pieņemot, ka n ir pāra skaitlis, tad n = 2k, ja skaitlis ir vesels skaitlis k. Tādējādi
\[ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2) \]
Tas nozīmē, ka \(n^2\) ir pāra skaitlis. Tādējādi pretstatījums ir pierādīts, un arī sākotnējais apgalvojums ir garantēts.
b. Pierādījums ar pretrunu palīdzību
Definīcija un piemēri
Pierādīšana ar pretrunu ietver pieņēmumu, ka pierādāmais apgalvojums ir nepatiess, un pierādīšanu, ka šis pieņēmums noved pie loģiskas pretrunas.
Konts:
Pierādiet, ka \(\sqrt{2}\) ir iracionāls skaitlis.
Pierādījums:
Pieņemsim, ka \(\sqrt{2}\) ir racionāls skaitlis. Tad \(\sqrt{2} = \frac{a}{b}\), kur \(a\) un \(b\) ir relatīvi pirmskaitļi (atņemšana ir 1), un \(b \ne 0\). Tātad mēs varam rakstīt:
[\sqrt{2} = \frac{a}{b}]
\[2 = \frac{a^2}{b^2} \]
\[2b^2 = a^2 \]
No šī vienādojuma mēs redzam, ka \(a^2\) ir pāra skaitlis, kas nozīmē, ka \(a\) arī ir jābūt pāra skaitlim. Pieņemsim, ka \(a = 2k\), mums ir:
\[2b^2 = (2k)^2 \]
\[2b^2 = 4k^2 \]
\[b^2 = 2k^2 \]
Tā kā \(b^2\) ir pāra skaitlis, tad arī \(b\) ir pāra skaitlis. Tas nozīmē, ka gan \(a\), gan \(b\) ir pāra skaitļi, kas ir pretrunā ar sākotnējo pieņēmumu, ka \(\frac{a}{b}\) ir tā vienkāršākajā formā. Tāpēc \(\sqrt{2}\) nevar būt racionāls skaitlis, un tāpēc tas ir iracionāls.
3. Matemātiskā indukcija
Definīcija un piemēri
Matemātiskā indukcija ir pierādīšanas metode, ko izmanto, lai pierādītu apgalvojumus, kas saistīti ar veseliem skaitļiem. Process sastāv no diviem soļiem: indukcijas bāzes un indukcijas soļa.
Konts:
Pierādiet, ka pirmās veselo skaitļu rindas summa ir \(1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2}\).
Pierādījums:
– Indukcijas pamats:
Ja n = 1,
\[1 = \frac{1(1+1)}{2} \]
pareizi.
– Indukcijas soļi:
Pieņemsim, ka apgalvojums ir patiess skaitlim \(k\). Tas ir,
\[1 + 2 + 3 + … + k = \frac{k(k+1)}{2} \]
Mums jāpierāda, ka tas pats attiecas arī uz \(k + 1\). Mēs pievienojam \((k + 1)\) abām vienādojuma pusēm:
\[1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k + 1) \]
\[ = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \]
\[ = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2} \]
Tātad apgalvojums ir patiess attiecībā uz \(k + 1\). Tādējādi, saskaņā ar matemātiskās indukcijas principu, apgalvojums ir patiess attiecībā uz visiem pozitīviem veseliem skaitļiem \(n\).
4. Pierādījums ar konkrētiem piemēriem
Definīcija un piemēri
Šī metode ietver pierādīšanu, izvēloties konkrētus piemērus, kas atbilst visiem apgalvojumā norādītajiem nosacījumiem un parāda, ka apgalvojums ir patiess. Tomēr šo metodi parasti izmanto, lai pierādītu apgalvojumu kā nepatiesu.
Konts:
Pierādiet, ka pastāv skaitļi, kurus nevar izteikt kā divu pilnīgu kvadrātu summu.
Pierādījums:
Mēģiniet izmantot piemēru \(3\):
Pieņemsim, ka \(3\) var izteikt kā divu perfektu kvadrātu summu, proti, \(a^2 + b^2 = 3\). Pēc tam, kad ir izmēģinātas visas veselo skaitļu \(a\) un \(b\) kombinācijas,
1. \(a = 0\), \(b^2 = 3\) (neiespējami).
2. \(a = 1\), \(b^2 = 2\) (neiespējami).
3. \(a = 2\), \(b^2 = -1\) (neiespējami).
4. Negatīvi skaitļi vai skaitļi, kas lielāki par 2, arī nav iespējami.
Tas parāda, ka \(3\) nevar izteikt kā divu kvadrātskaitļu summu. Tātad, ir skaitļi, kurus nevar izteikt kā divu pilnīgu kvadrātskaitļu summu.
Secinājums
Pierādījumiem matemātikā ir nepieciešamas dažādas metodoloģijas un sistemātiski soļi atkarībā no pierādāmā apgalvojuma veida. Tiešais pierādījums, netiešais pierādījums (pretrunīgs un pretrunīgs), matemātiskā indukcija un īpaši piemēri ir dažas no galvenajām pierādīšanas metodēm, ko izmanto dažādās situācijās. Šo metožu izpratne nostiprinās matemātikas pamatus un palīdzēs jums dziļāk izpētīt dažādas matemātikas nozares.
Ar praksi un padziļinātu izpratni matemātiskās pierādīšanas metodes kļūs par instrumentu, kas vienmēr būs gatavs lietošanai sarežģītu matemātisku problēmu risināšanā.
