Kā aprēķināt standarta novirzi
Standartnovirze ir viens no visbiežāk izmantotajiem statistikas mērījumiem, lai noteiktu, cik "izkliedēti" dati atšķiras no to vidējā rādītāja. Reālajā dzīvē standartnovirze palīdz mums izprast parādības stabilitāti vai variāciju: piemēram, testa rezultātu variācijas, pārdošanas apjomu svārstības, auguma atšķirības un pat finanšu datu riskus. Jo mazāka ir standartnovirze, jo tuvāk dati ir vidējam rādītājam. Un otrādi, liela standartnovirze norāda, ka dati ir tālu no vidējā rādītāja un tiem ir liela variācija.
Šajā rakstā tiks apspriesta standarta novirzes nozīme, izmantotā formula un manuālas aprēķināšanas darbības, izmantojot viegli saprotamus piemērus.
1. Standartnovirzes definīcija
Standartnovirze ir dispersijas kvadrātsakne. Pati dispersija ir katra datu punkta starpību kvadrātu un vidējās vērtības vidējais rādītājs. Kāpēc izmantot kvadrātu? Tāpēc, ka starpības starp datu punktiem un vidējo vērtību var būt gan negatīvas, gan pozitīvas. Ja tās saskaita tieši, negatīvās un pozitīvās starpības var viena otru atcelt, kā rezultātā iegūst maldinošus rezultātus. Kvadrātējot starpības, visas vērtības kļūst pozitīvas, kas ļauj precīzāk izmērīt datu sadalījumu.
Vienkārši:
– Variācija = izplatības mērs “kvadrātvienībās”.
– Standartnovirze = izplatības mērs, kas ir atgriezies sākotnējās datu vienībās.
Piemērs: ja dati ir testa rezultātu (punktu vienību) veidā, dispersija būs punktos, savukārt standartnovirze atkal būs punktos, kas atvieglos interpretāciju.
2. Populācijas un izlases standartnovirzes salīdzinājums
Pirms aprēķinu veikšanas ir svarīgi zināt, kāda veida dati jums ir:
1. Iedzīvotāju skaits: dati ietver visus dalībniekus, kuri ir jāpēta.
Populācijas standartnovirzes formula izmanto dalītāju N (datu skaits).
2. Izlase: dati ir tikai daļa no populācijas, parasti tiek izmantoti, lai attēlotu lielāku populāciju.
Parauga standartnovirzes formula izmanto dalītāju (n − 1), lai koriģētu novērtējuma neobjektivitāti. Šo korekciju sauc par Besela korekciju.
Ikdienas praksē (piemēram, pētījumos, aptaujās, klases analīzē) dati bieži tiek uzskatīti par izlasi, tāpēc dalītājs ir (n − 1).
3. Standartnovirzes formula
A. Populācijas standartnovirzes formula
Pieņemsim, ka dati: \(x_1, x_2, \dots, x_N \)
Vidējais iedzīvotāju skaits:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Populācijas dispersija:
\[
η² = θ(x₁ – µ)²(N)
\]
Populācijas standartnovirze:
\[
η = η² (vai η²)
\]
B. Standartnovirzes formulas paraugs
Parauga vidējais rādītājs:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Parauga dispersija:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Parauga standartnovirze:
\[
s = ∫qrt{s^2}
\]
4. Standarta novirzes manuālas aprēķināšanas darbības
Lai atvieglotu izpratni, mēs izmantojam 5 studentu eksāmenu rezultātu datu piemēru:
Dati: 60, 70, 70, 80, 90
Pieņemsim, ka šie dati ir paraugs (kas bieži sastopams mācību piemēros).
1. darbība. Aprēķiniet vidējo vērtību
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Tātad vidējais rezultāts ir 74.
2. darbība. Aprēķiniet starpību starp katru datu vienību un vidējo vērtību.
Izveidojiet starpības kolonnu \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
3. solis: starpības kvadrātveida noteikšana
Aprēķiniet \(x_i – \bar{x})^2 \):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
4. solis: saskaitiet atšķirību kvadrātus
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
5. darbība: Aprēķiniet dispersiju (izlasei daliet ar n − 1)
Tā kā n = 5, tad n − 1 = 4:
\[
s^2 = ∫\frac{520}{4} = 130
\]
Tātad izlases dispersija ir 130.
6. solis: dispersijas kvadrātsakne, lai iegūtu standartnovirzi
\[
s = ∫qrt{130} \aptuveni 11{,}40
\]
Tātad datu standartnovirze ir aptuveni 11,40. Tas nozīmē, ka vidēji studentu rezultāti atšķiras no vidējā rādītāja 74 par aptuveni 11 punktiem.
5. Ātrais veids: alternatīva formula (aprēķins)
Papildus iepriekš minētajai manuālajai metodei ir arī skaitļošanas formula, ko bieži izmanto, lai paātrinātu aprēķinus, īpaši, ja ir daudz datu:
Parauga dispersija:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Šī formula ļauj izvairīties no starpību aprēķināšanas pa vienai, taču, aprēķinot datu kvadrātu summu, joprojām ir nepieciešama precizitāte.
Tomēr konceptuālai izpratnei pakāpeniskā metode (starpība → kvadrāts → summa) parasti ir vienkāršāka un drošāka par kļūdām.
6. Standartnovirzes interpretācija
Standartnovirze neapstājas tikai pie skaitļiem, bet tā ir jāinterpretē:
– Maza standartnovirze: dati ir grupēti tuvu vidējam rādītājam, variācija ir zema, rezultāti ir konsekventāki.
– Liela standartnovirze: dati ir ļoti atšķirīgi no vidējā rādītāja, variācija ir augsta, rezultāti ir mazāk konsekventi.
Piemēram, pieņemsim, ka divām klasēm ir vienāds vidējais rezultāts — 74. Ja A klases standartnovirze ir 5, bet B klases — 15, tad A klases rezultāti ir vienmērīgāki un stabilāki. B klasei ir lielāka variācija: dažas klases ir ļoti zemas, bet citas — ļoti augstas.
7. Bieži pieļautās kļūdas
Dažas bieži pieļautas kļūdas, aprēķinot standarta novirzi:
1. Aizmirsu atšķirt izlasi no populācijas, tāpēc dalītājs ir nepareizs (N pret n − 1).
2. Nepareiza vidējās vērtības aprēķināšana, kā rezultātā visi nākamie soļi ir nepareizi.
3. Aizmirstība pacelt starpību kvadrātā vai kļūda, beigās ņemot kvadrātsakni.
4. Aritmētiskas kļūdas, saskaitot vai aprēķinot skaitļu kvadrātus.
Kļūdas var novērst, izveidojot aprēķinu tabulu un divreiz pārbaudot rezultātus.
Pennutup
Standartnovirzes aprēķināšana patiesībā nav sarežģīta, ja pareizi izpildāt šīs darbības: aprēķiniet vidējo vērtību, atrodiet starpību starp katru datu kopu, kāpiniet starpības kvadrātā, saskaitiet tās kopā, daliet (ar n vai n − 1) un pēc tam novelciet kvadrātsakni. Izprotot standartnovirzi, varat novērtēt, cik konsekventi ir jūsu dati un cik liela ir variācija.
Ja vēlaties, varu izveidot arī papildu piemērus ar vairāk datiem, grupētu datu piemērus (frekvenču tabulas) vai to, kā aprēķināt standartnovirzi, izmantojot Excel/Google Sheets.
