Jautājumu un diskusiju piemēri: atsevišķu datu dispersija un standartnovirze
Statistika ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar datu vākšanu, analīzi, interpretāciju, attēlošanu un organizēšanu. Divi svarīgi statistikas jēdzieni ir dispersija un standartnovirze. Šajā rakstā, izmantojot vairākus piemērus, tiks detalizēti aplūkots, kā aprēķināt vienas datu kopas dispersiju un standartnovirzi.
Dispersijas un standartnovirzes izpratne
Dispersija ir mērs, kas kvantificē, cik tālu datu kopas skaitļi atšķiras no vidējās vērtības. Dispersija tiek izteikta sākotnējo datu kvadrātvienībās, tāpēc to bieži vien ir grūti interpretēt.
Standartnovirze ir dispersijas kvadrātsakne. Tā sniedz intuitīvāku mērījumu tam, cik tālu dati parasti novirzās no vidējā rādītāja, jo tās mērvienības ir tādas pašas kā sākotnējās datu mērvienības.
Vispārīgā formula
Atsevišķiem datiem populācijas dispersijas \( \sigma^2 \) un standartnovirzes \( \sigma \) aprēķināšanas formula ir šāda:
1. Dispersija (σ²):
(\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Standartnovirze (σ):
(\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2})
Kur:
– \(N \) ir datu skaits populācijā.
– \(x_i \) ir i-tā datu vērtība.
– \( \mu \) ir datu vidējais rādītājs vai vidējā vērtība.
Ja aprēķinām izlases dispersiju un standartnovirzi, tad iepriekš minētā formula ir nedaudz modificēta:
1. Parauga dispersija (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Parauga standartnovirze(-es):
(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
Kur:
– \(n \) ir datu skaits izlasē.
– \( \bar{x} \) ir izlases vidējais rādītājs.
Parauga jautājumi un diskusija
1. jautājuma piemērs:
Ņemot vērā šādus datus:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Aprēķiniet datu dispersiju un standartnovirzi!
Risinājuma soļi:
1. Vidējās vērtības (Mean) aprēķināšana \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Aprēķiniet starpību starp datiem un vidējo vērtību un pēc tam kvadrējiet to:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Visu kvadrātā kāpināto rezultātu saskaitīšana:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Iedzīvotāju datu dispersijas (σ²) aprēķināšana:
\[
η² = η² = 3.559
\]
Piezīme: Tā kā šie dati ir norādīti kā iedzīvotāju skaita dati, mēs dalām ar 6.
5. Standartnovirzes (σ) aprēķināšana:
\[
η = η kv./min. 3.559 aptuveni 1.886
\]
Tātad datu dispersija ir 3.559, un standartnovirze ir 1.886.
2. jautājuma piemērs:
Ņemot vērā šādus parauga datus:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Aprēķiniet izlases dispersiju un standartnovirzi!
Risinājuma soļi:
1. Vidējās vērtības (Mean) aprēķināšana \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Aprēķiniet starpību starp datiem un vidējo vērtību un pēc tam kvadrējiet to:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Visu kvadrātā kāpināto rezultātu saskaitīšana:
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Izlases dispersijas (s²) aprēķināšana:
\[
s^2 = ∫\frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Piezīme. Tā kā šie ir parauga dati, mēs dalām ar 5 (n-1).
5. Standartnovirzes(-u) aprēķināšana:
\[
s = ∫qrt{5.351} \aptuveni 2.313
\]
Tātad izlases datu dispersija ir 5.351 un standartnovirze ir 2.313.
Secinājums
Dispersijas un standartnovirzes aprēķināšana ir būtiska, lai izprastu datu izkliedi noteiktā kopā. Lai gan dispersija sniedz teorētisku dispersijas mēru sākotnējo vienību kvadrātos, standartnovirze interpretē dispersijas mēru datu sākotnējo vienību izteiksmē, padarot to vieglāk saprotamu. Datu analīzē šie divi mērījumi bieži tiek izmantoti, lai novērtētu datu mainīgumu un pieņemtu statistiskus lēmumus.
Izprotot nepieciešamos soļus un formulas, mēs varam viegli aprēķināt dispersiju un standartnovirzi dažādās situācijās, ar kurām sastopamies ikdienas datu vākšanas un analīzes laikā. Cerams, ka šis raksts sniegs dziļāku izpratni par dispersijas un standartnovirzes jēdzieniem atsevišķās datu kopās.
