Piemēru jautājumi par grupas datu dispersijas un standartnovirzes apspriešanu
Pendahuluan
Statistikā dispersija un standartnovirze ir divi statistiski rādītāji, kas ir būtiski, lai izprastu datu izkliedi jeb izplatību no vidējā rādītāja. Dispersija mēra, cik tālu dati ir izkliedēti no vidējā rādītāja, savukārt standartnovirze ir dispersijas kvadrātsakne, kas sniedz rādītāju, kas ir tādās pašās mērvienībās kā sākotnējie dati.
Noteikti
– Dispersija (σ² vai S²): ir katras datu vērtības un datu vidējās vērtības starpību kvadrātu vidējais rādītājs.
– Standartnovirze (σ vai S): ir dispersijas kvadrātsakne.
Grupas datu dispersijas un standartnovirzes formula
Grupu datiem mēs izmantojam datu biežumu katrā klasē. Lūk, formula:
Varian
\[S^2 = \frac{ \sum f_i \left(x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Standarta novirze
\[S = \sqrt{S^2} \]
di mana:
– \(f_i \) = katras klases biežums.
– \(x_i \) = katras klases viduspunkts.
– \( \bar{x} \) = grupas datu vidējais rādītājs.
– \(N \) = kopējais datu skaits.
Parauga jautājumi un diskusija
Pieņemsim, ka mums ir svara dati cilvēku grupai, kas sagrupēta klasēs.
| Svara intervāls (kg) | Biežums (f) |
|—————————|—————–|
| 50–54 | 2 |
| 55–59 | 5 |
| 60–64 | 8 |
| 65–69 | 7 |
| 70–74 | 3 |
Pirmais solis ir noteikt katras klases viduspunktu ( \( x_i \) ) un pēc tam aprēķināt vidējo vērtību ( \( \bar{x} \)).
1. Viduspunkta aprēķināšana ( \(x_i \) )
\[ \text{Viduspunkts} = \frac{\text{Apakšējā robeža} + \text{Augšējā robeža}}{2} \]
| Svara intervāls (kg) | Biežums (f) | Viduspunkts ( \( x_i \) ) |
|——————|—————–|—————————|
| 50–54 | 2 | 52 |
| 55–59 | 5 | 57 |
| 60–64 | 8 | 62 |
| 65–69 | 7 | 67 |
| 70–74 | 3 | 72 |
2. Vidējās vērtības aprēķināšana ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{N } \]
Kopējais datu skaits (N):
\[N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \sum f_i x_i = (2 x 52) + (5 x 57) + (8 x 62) + (7 x 67) + (3 x 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Tātad, vidējais (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{1570}{25} = 62.8 \]
3. Dispersijas aprēķināšana (\(S^2 \))
Mums jāaprēķina \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
sākt{izlīdzināt }
(x_i – \bar{x})^2: un (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align }
\]
Reizinot ar frekvenci:
\[
sākt{izlīdzināt }
f_i (x_i – ∫bar{x})^2: & 2 x 118.84 = 237.68
& 5 x 33.64 = 168.2
& 8 x 0.64 = 5.12
& 7 x 17.64 = 123.48
& 3 x 84.64 = 253.92
\end{align }
\]
\[
f_i (x_i – ∫{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Tagad mēs varam aprēķināt dispersiju (\(S^2 \)):
\[S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \aptuveni 32.85 \]
4. Standartnovirzes (\(S\)) aprēķināšana
Standartnovirze (\(S\)):
\[S = \sqrt{S^2} \]
\[S = \sqrt{32.85} \aptuveni 5.73 \]
Secinājums
No iepriekš minētajiem datu piemēriem mums ir:
– Aprēķinot vidējo ķermeņa svaru: 62.8 kg
– Dispersijas aprēķināšana: 32.85 kg²
– Standartnovirzes aprēķināšana: 5.73 kg
Standartnovirzes interpretācija ir tāda, ka svara datu vidējā novirze no vidējā rādītāja ir aptuveni 5.73 kg. Tas norāda datu izkliedi attiecībā pret vidējo rādītāju, kas var palīdzēt secināt, cik mainīgi ir mūsu dati.
Rūpīga dispersijas un standartnovirzes izpratne ir ļoti svarīga, īpaši tiem, kas strādā statistikas, pētniecības un testēšanas jomā, jo viņi cenšas izprast datus grupu vai sadalījumu veidā. Zinot, kā aprēķināt un interpretēt šos divus rādītājus, var palīdzēt pieņemt labākus lēmumus, pamatojoties uz pieejamajiem datiem.
