Jautājumu piemēri par transformāciju Dekarta plaknē
Pārveidojumi Dekarta plaknē ir svarīga tēma matemātikā, īpaši ģeometrijā. Šīs pārveidojumi ietver dažādas darbības, piemēram, pārvietošanu, atstarošanu, rotāciju un dilatāciju, kuru mērķis ir pārvietot vai mainīt objekta formu divdimensiju plaknē. Šajā rakstā tiks apskatīti vairāki uzdevumu piemēri un apspriesti tie saistībā ar pārveidojumiem Dekarta plaknē.
Pārveidošanas veidi
Pirms mēs pievēršamies piemēra problēmai, vispirms apskatīsim šādus transformāciju veidus:
1. Tulkojums (pārslēgšana)
Pāreja ir punkta vai objekta nobīde plaknē par noteiktu attālumu noteiktā virzienā. Pāreju var definēt šādi:
\[
(x, y) \labā bultiņa (x+a, y+b)
\]
kur \(a\) un \(b\) ir horizontālās un vertikālās nobīdes attālumi.
2. Pārdomas
Atstarošana ir punkta vai objekta atstarošana pāri asij, neatkarīgi no tā, vai tā ir x ass, y ass vai cita līnija. Piemēram, atstarošana pāri x asij:
\[
(x, y) \labā bultiņa (x, -y)
\]
3. Rotācija (spin)
Rotācija ir punkta vai objekta rotācija ap centrālo punktu noteiktā leņķī. Pretēji pulksteņrādītāja virzienam rotāciju par leņķi \(\theta\) var izteikt kā:
\[
(x, y) \labā bultiņa (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Dilatācija (mērogošana)
Dilatācija ir objekta izmēra izmaiņas par noteiktu mēroga koeficientu. Ja mēroga koeficients ir \(k\), dilatāciju var izteikt kā:
\[
(x, y) \labā bultiņa (kx, ky)
\]
Parauga jautājumi un diskusija
1. jautājums: Tulkojums
Jautājums:
Veiciet pārvietojumu punktā \(A(2, 3)\) ar 5 vienību nobīdi pa labi un 4 vienību nobīdi uz augšu.
Diskusija:
Pārvietojot \(5\) vienības pa labi, tiek palielināta x koordināta par \(5\). Apgalvojums “4 vienības uz augšu” nozīmē palielināt y koordinātu par \(4\). Pārvietojuma rezultāts ir:
\[
(x, y) \labā bultiņa (x+5, y+4)
\]
Tātad punkts \(A(2, 3)\) pēc pārvēršanas kļūst par:
\[
(x+5, y+4) \rightbult (2+5, 3+4) \rightbult (7, 7)
\]
Tātad punkts \(A(2, 3)\) pēc pārvēršanas ir \(A'(7, 7)\).
2. jautājums: Pārdomas
Jautājums:
Atstarojiet punktu \(B(-4, 7)\) ap y asi.
Diskusija:
Atstarošana ap y asi maina x koordinātu uz negatīvu sākotnējās x koordinātas vērtību, kamēr y koordināta paliek nemainīga.
\[
(x, y) \labā bultiņa (-x, y)
\]
Tātad punkts \(B(-4, 7)\) pēc refleksijas kļūst par:
\[
(x, y) \labā bultiņa (-(-4), 7) \labā bultiņa (4, 7)
\]
Tātad punkts \(B(-4, 7)\) pēc refleksijas ap y asi ir \(B'(4, 7)\).
3. jautājums: Rotācija
Jautājums:
Pagrieziet punktu \(C(1, 2)\) par \(90^\circ\) pretēji pulksteņrādītāja virzienam, centram atrodoties koordinātu sākumpunktā \(0, 0)\).
Diskusija:
Rotāciju par 90° apli pretēji pulksteņrādītāja virzienam var izteikt kā:
\[
(x, y) \labā bultiņa (-y, x)
\]
Tātad punkts \(C(1, 2)\) pēc rotācijas kļūst par:
\[
(x, y) \labā bultiņa (-2, 1)
\]
Tātad punkts \(C(1, 2)\) pēc \(90^\circ\) pagrieziena pretēji pulksteņrādītāja virzienam ir \(C'(-2, 1)\).
4. jautājums: Dilatācija
Jautājums:
Paplašiniet punktu \(D(3, 4)\) ar mēroga koeficientu \(k = 2\).
Diskusija:
Dilatācija ar mēroga koeficientu \(2\) nozīmē abu koordinātu reizīšanu ar \(2\).
\[
(x, y) \labā bultiņa (2x, 2y)
\]
Tātad punkts \(D(3, 4)\) pēc dilatācijas kļūst par:
\[
(x, y) \rightarrow (2 x 3, 2 x 4) \rightarrow (6, 8)
\]
Tātad punkts \(D(3, 4)\) pēc dilatācijas ar mēroga koeficientu \(2\) ir \(D'(6, 8)\).
5. jautājums: Pārveidojumu kombinācija
Jautājums:
Atstarojiet ap x asi un pēc tam paplašiniet ar mēroga koeficientu \(k = 0.5\) punktā \(E(8, -6)\).
Diskusija:
Pirmais solis ir pārdomas par x asi:
\[
(x, y) \labā bultiņa (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \labā bultiņa (8, 6)
\]
Otrais solis ir veikt dilatāciju ar mēroga koeficientu \(0.5\):
\[
(x, y) \labā bultiņa (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 x 8, 0.5 x 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Tātad punkts \(E(8, -6)\) pēc refleksijas ap x asi un dilatācijas ar mēroga koeficientu \(0.5\) ir \(E'(4, 3)\).
6. jautājums: Pārveidošana ar rotāciju un translāciju
Jautājums:
Pagrieziet punktu \(F(-3, 4)\) par \(180^\circ\) pretēji pulksteņrādītāja virzienam, pēc tam rezultātu pārvietojiet ar vektoru \(2, -1)\).
Diskusija:
Pirmais solis ir pagriezt par 180° pretēji pulksteņrādītāja virzienam:
\[
(x, y) \labā bultiņa (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \labā bultiņa (3, -4)
\]
Otrais solis ir veikt pārnesi ar vektoru \((2, -1)\):
\[
(x, y) \labā bultiņa (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \labā bultiņa (3+2, -4-1) \labā bultiņa (5, -5)
\]
Tātad punkts \(F(-3, 4)\) pēc rotācijas \(180^\circ\) un pārvirzes ar vektoru \(2, -1)\) ir \(F'(5, -5)\).
Secinājums
Pārveidojumi Dekarta plaknē ir svarīgs ģeometrijas jēdziens, kas aptver dažādas darbības, piemēram, pārvietošanu, atspoguļošanu, rotāciju un dilatāciju. Izprotot, kā darbojas katrs transformācijas veids, mēs varam viegli mainīt objekta pozīciju vai formu plaknē. No iepriekš minētajiem piemēriem mēs varam redzēt dažādu transformāciju praktisko pielietojumu un to, kā tās var apvienot, lai sasniegtu sarežģītākas transformācijas. Cerams, ka šis raksts ir palīdzējis izprast transformācijas Dekarta plaknē.
