Diskusijas jautājuma piemērs par lineāru vienādojumu sistēmu
Lineāro vienādojumu sistēmas (SLE) ir fundamentāls jēdziens, ko bieži māca matemātikā gan vidējās, gan augstākās izglītības līmenī. SLE apgūšana ir ļoti svarīga, jo to plaši izmanto dažādās jomās, sākot no fizikas un ekonomikas līdz inženierzinātnēm. Šajā rakstā mēs apspriedīsim vairākus lineāro vienādojumu sistēmu un to risinājumu piemērus. Lai atvieglotu izpratni, mēs izmantosim aizstāšanas, eliminācijas un matricu metodes.
Parauga jautājumi un diskusija
1. jautājuma piemērs: aizstāšanas metode
Jautājums:
Atrisiniet sekojošo vienādojumu sistēmu, izmantojot aizstāšanas metodi:
1. \(2x + 3y = 8\)
2. \(x – 2y = -3\)
Risinājums:
1. Pirmais solis ir atrisināt vienu no vienādojumiem vienam no mainīgajiem. Piemēram, mēs varam atrisināt otro vienādojumu \(x\):
\[x – 2y = -3 \]
\[x = 2y – 3 \]
2. Aizvietojiet \(x = 2y – 3\) pirmajā vienādojumā:
\[2(2y – 3) + 3y = 8 \]
\[4g – 6 + 3g = 8 \]
\[7 g. – 6 = 8 \]
\[7g = 14 \]
\[y = 2 \]
3. Tagad vienādojumā (x = 2y – 3) ievietojiet \(y = 2\):
\[x = 2(2) – 3 \]
\[ x = 4 – 3 \]
\[ x = 1 \]
Tātad vienādojumu sistēmas risinājums ir x = 1 un y = 2.
2. piemēra jautājums: Eliminācijas metode
Jautājums:
Atrisiniet sekojošo vienādojumu sistēmu, izmantojot eliminācijas metodi:
1. \(3x + 2y = 12\)
2. \(5x – y = 9\)
Risinājums:
1. Pirmais solis ir vienādot viena mainīgā koeficientu abos vienādojumos. Otro vienādojumu var reizināt ar 2, lai \(y\) koeficients būtu vienāds:
\[2(5x – y) = 2(9) \]
\[10x – 2y = 18 \]
2. Saskaitiet abus vienādojumus, lai likvidētu \(y\):
\[ 3x + 2g + 10x - 2g = 12 + 18 \]
\[13x = 30 \]
\[ x = \frac{30}{13} \]
3. Aizvietojiet \(x = \frac{30}{13} \) pirmajā vienādojumā:
\[3\left(\frac{30}{13}\right) + 2y = 12 \]
\[ \frac{90}{13} + 2y = 12 \]
\[2y = 12 – \frac{90}{13} \]
\[2y = \frac{156}{13} – \frac{90}{13} \]
\[2y = \frac{66}{13} \]
\[y = \frac{33}{13} \]
Tātad vienādojumu sistēmas risinājumi ir x = 30% no I13% un y = 33% no I13%.
3. piemēra jautājums: Matricas metode (Gausa eliminācija)
Jautājums:
Atrisiniet sekojošo vienādojumu sistēmu, izmantojot matricu metodi:
1. \(x + y + z = 6\)
2. \(2x – y + 3z = 14\)
3. \(4x + 2y – z = 2\)
Risinājums:
1. Vienādojumu sistēmas paplašinātā matricas forma:
\[ \sākt{pmatrix}
1 un 1 un 1 un | un 6 \\
2 un -1 un 3 un | un 14 \\
4 un 2 un -1 un | un 2
\end{pmatrix} \]
2. Gausa eliminācijas process:
– Mainīt otro rindu uz otrās rindas rezultātu, atņemot divreiz lielāku pirmās rindas vērtību:
\[ \sākt{pmatrix}
1 un 1 un 1 un | un 6 \\
0 un -3 un 1 un | un 2 \\
4 un 2 un -1 un | un 2
\end{pmatrix} \]
– Mainīt trešo rindu uz trešās rindas rezultātu, atņemot četras reizes pirmās rindas rezultātu:
\[ \sākt{pmatrix}
1 un 1 un 1 un | un 6 \\
0 un -3 un 1 un | un 2 \\
0 un -2 un -5 un | un -22
\end{pmatrix} \]
– Mainīt trešo rindu uz trešās rindas rezultātu plus divas trešdaļas no otrās rindas:
\[ \sākt{pmatrix}
1 un 1 un 1 un | un 6 \\
0 un -3 un 1 un | un 2 \\
0 un 0 un -4 un | un -20
\end{pmatrix} \]
– Trešo rindu nomainiet uz trešās rindas rezultātu, dalītu ar -4:
\[ \sākt{pmatrix}
1 un 1 un 1 un | un 6 \\
0 un -3 un 1 un | un 2 \\
0 un 0 un 1 un | un 5
\end{pmatrix} \]
– Pārveidojiet otro rindu par otrās rindas un trešās rindas rezultātu:
\[ \sākt{pmatrix}
1 un 1 un 1 un | un 6 \\
0 un -3 un 0 un | un -3 \\
0 un 0 un 1 un | un 5
\end{pmatrix} \]
– Mainīt otro rindu uz otrās rindas rezultātu, dalītu ar -3:
\[ \sākt{pmatrix}
1 un 1 un 1 un | un 6 \\
0 un 1 un 0 un | un 1 \\
0 un 0 un 1 un | un 5
\end{pmatrix} \]
– Mainīt pirmo rindu uz pirmās rindas rezultātu, no kura atņemta otrā un trešā rinda:
\[ \sākt{pmatrix}
1 un 0 un 0 un | un 0 \\
0 un 1 un 0 un | un 1 \\
0 un 0 un 1 un | un 5
\end{pmatrix} \]
Tātad vienādojumu sistēmas risinājumi ir x = 0, y = 1 un z = 5.
Secinājums
Lineāru vienādojumu sistēmu risināšanas metožu izpratne ir ļoti svarīga matemātikas apgūšanai. Aizstāšanas, eliminācijas un matricu metodes piedāvā dažādas pieejas pareizā risinājuma atrašanai. Ar pastāvīgu praksi un stabilu jēdzienu izpratni ikviens var apgūt šīs metodes un pielietot tās dažādos kontekstos. Cerams, ka šajā rakstā aplūkotie piemēri palīdzēs lasītājiem labāk izprast un apgūt lineāru vienādojumu sistēmas.
