Problēmas piemērs, kurā apspriesta ķēdes rezonanse
Rezonanse ir parādība, kurā sistēma svārstās ar maksimālu amplitūdu noteiktā frekvencē. Elektrisko ķēžu kontekstā rezonanse rodas, kad ķēdes impedance sasniedz minimālo vai maksimālo vērtību, izraisot strāvas vai sprieguma maksimumu ķēdē. Šī parādība ir ļoti svarīga elektrisko ķēžu projektēšanā un analīzē, īpaši tādās lietojumprogrammās kā radioaparāti, filtri un oscilatori.
Elektrisko ķēžu rezonanses pamatprincipi
Elektrisko ķēžu rezonanse parasti tiek apspriesta RLC ķēdes kontekstā, kas sastāv no rezistora (R), induktora (L) un kondensatora (C). Parasti tiek apspriesti divi rezonanses veidi:
1. Virknes rezonanse: rodas, kad induktors un kondensators ir savienoti virknē ar rezistoru. Rezonanse rodas, kad induktīvā reaktivitāte (XL) ir vienāda ar kapacitatīvo reaktivitāti (XC).
2. Paralēlā rezonanse: rodas, kad induktors un kondensators ir savienoti paralēli. Rezonanse rodas, kad ķēdes impedance noteiktā frekvencē sasniedz maksimālo vērtību.
Abu veidu ķēdēm rezonanses frekvence (\(f_0 \)) ir vienāda un to izsaka ar:
[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}]
RLC sērijas shēmu rezonanses piemēru jautājumi un diskusija
1. jautājums:
Dota virknes RLC ķēde ar 10 omu rezistoru (R), 10 mH induktoru (L) un 1 μF kondensatoru (C). Nosakiet:
1. Ķēdes rezonanses frekvence.
2. Ķēdes pretestība rezonanses frekvencē.
3. Strāva, kas plūst ķēdē, ja avota spriegums ir 10 V rms rezonanses frekvencē.
Diskusija:
1. Ķēdes rezonanses frekvence:
Rezonanses frekvenci (\( f_0 \)) virknes RLC ķēdē izsaka ar:
[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}]
Kur:
– L = 10 mH = 10 x 10⁻³ H
– C = 1 μF = 1 x 10⁻⁶ F
Tātad:
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(10 \reiz 10^{-3})(1 \reiz 10^{-6})}} \]
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \reiz 10^{-9}}} \]
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-8}}} \]
\[f_0 = \frac{1}{2\pi \reiz 10^{-4}} \]
[f_0 = \frac{10^4}{2\pi}]
\[ f_0 ≈ 1591.55 \text{ Hz} \]
2. Ķēdes pretestība rezonanses frekvencē:
Rezonanses frekvencē induktīvā reaktivitāte (XL) ir vienāda ar kapacitatīvo reaktivitāti (XC), tātad:
\[X_L = X_C \]
\[2\pi f_0 L = \frac{1}{2\pi f_0 C} \]
Tā kā induktīvā un kapacitatīvā reaktivitāte viena otru atceļ, ķēdes impedance ir tikai rezistors (R):
\[ Z = R = 10 \teksts{ oms} \]
3. Ķēdē plūstošā strāva:
Strāvu (\( I \)) ķēdē var aprēķināt, izmantojot Oma likumu:
\[I = \frac{V}{Z} \]
Kur:
– V = 10 V rms
– Z = 10 omi (rezonanses frekvencē)
Tātad:
\[I = \frac{10}{10} \]
\[I = 1 \tekst{ A} \]
Tātad, ķēdē plūstošā strāva ir 1 A.
Paralēlo RLC shēmu rezonanses piemēru jautājumi un diskusija
2. jautājums:
Dota paralēla RLC shēma ar 10 omu rezistoru (R), 5 mH induktoru (L) un 2 μF kondensatoru (C). Nosakiet:
1. Ķēdes rezonanses frekvence.
2. Ķēdes pretestība rezonanses frekvencē.
3. Avota spriegums, ja kopējā strāva, kas plūst ķēdē, ir 2 A rezonanses frekvencē.
Diskusija:
1. Ķēdes rezonanses frekvence:
Rezonanses frekvenci (\( f_0 \)) paralēlā RLC ķēdē izsaka arī:
[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}]
Kur:
– L = 5 mH = 5 x 10⁻³ H
– C = 2 μF = 2 x 10⁻⁶ F
Tātad:
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(5 \reiz 10^{-3})(2 \reiz 10^{-6})}} \]
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \reiz 10^{-9}}} \]
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-8}}} \]
\[f_0 = \frac{1}{2\pi \reiz 10^{-4}} \]
[f_0 = \frac{10^4}{2\pi}]
\[ f_0 ≈ 1591.55 \text{ Hz} \]
2. Ķēdes pretestība rezonanses frekvencē:
Rezonanses frekvencē induktora un kondensatora kopējā caurlaidība (Y) ir nulle. Tāpēc paralēlās RLC ķēdes impedance (Z) ir atkarīga tikai no rezistora (R). Tādējādi rezonanses frekvencē paralēlās RLC ķēdes impedance ir vienāda ar rezistoru.
Tātad:
\[ R = 10 \teksts{ oms} \]
3. Avota spriegums:
Kopējā strāva (\( I \)), kas plūst ķēdē, ir 2 A. No Oma likuma izriet, ka avota spriegumu (V) izsaka:
\[V = I x Z \]
Kur:
– I = 2 A
– Z = 10 omi
Tātad:
\[V = 2 \reiz 10 \]
\[ V = 20 \teksts{ V} \]
Tātad avota spriegums ir 20 V.
Secinājums
Rezonanse elektriskajās ķēdēs ir galvenā parādība, ko var izmantot dažādos elektrotehnikas un elektronikas inženierijas pielietojumos. Izpratne par to, kā aprēķināt rezonanses frekvenci un tās ietekmi uz strāvu un spriegumu, ir būtiska shēmu projektēšanai un analīzei. Šajā rakstā ir sniegti RLC shēmu rezonanses pamatjēdzieni un aplūkotas saistītās problēmas, lai sniegtu skaidru pārskatu par šo tēmu.
