Diskusijas jautājuma piemērs par apļa vienādojumu
Apļa vienādojums ir svarīga tēma analītiskajā ģeometrijā. Laba apļa vienādojuma izpratne ir ārkārtīgi noderīga ne tikai matemātikā, bet arī dažādos inženierzinātņu un zinātnes pielietojumos. Šajā rakstā mēs apspriedīsim vairākus apļa vienādojumu piemērus un to risinājumus. Mērķis ir sniegt skaidru un visaptverošu pārskatu par to, kā risināt problēmas, kas saistītas ar apļa vienādojumiem.
Apļa vispārīgais vienādojums
Visizplatītākais apļa vienādojums Dekarta koordinātēs ir:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Kur:
– \( (a, b) \) ir apļa centra koordinātas.
– \(r \) ir apļa rādiuss.
Ja apļa centrs atrodas punktā \((0, 0) \), tad apļa vienādojums būs šāds:
[x^2 + y^2 = r^2]
Tagad aplūkosim dažus jautājumu piemērus un to risinājumus.
1. jautājuma piemērs
Jautājums: Nosakiet apļa vienādojumu, kura centrs atrodas punktā (3, -2) un kura rādiuss ir 5.
Risinājums:
Izmantojiet apļa vienādojuma vispārīgo formulu:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Aizvietojiet vērtības \(a = 3 \), \(b = -2 \) un \(r = 5 \):
\[ (x–3)^2 + (y + 2)^2 = 5^2 \]
\[ (x–3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Tātad, apļa vienādojums ir:
\[ (x–3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
2. jautājuma piemērs
Jautājums: Nosakiet apļa vienādojumu, kura centrs atrodas koordinātu sākumpunktā (0, 0) un kura rādiuss ir 7.
Risinājums:
Tā kā apļa centrs atrodas koordinātu sākumpunktā, mēs varam izmantot vienkāršu vienādojumu:
[x^2 + y^2 = r^2]
Aizstājiet vērtību \(r = 7 \):
\[x^2 + y^2 = 7^2 \]
\[x^2 + y^2 = 49 \]
Tātad, apļa vienādojums ir:
\[x^2 + y^2 = 49 \]
3. jautājuma piemērs
Jautājums: Nosakiet riņķa līnijas vienādojumu, kuras centrs atrodas punktā (4, -5) un pieskaras Y asij.
Risinājums:
Aplis, kas ir pieskare Y asij, nozīmē, ka attālums no apļa centra līdz Y asij ir vienāds ar tā rādiusu. Šis attālums ir apļa centra X koordinātas absolūtā vērtība. Tātad rādiuss ir 4.
Izmantojiet apļa vienādojuma vispārīgo formulu:
[(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Aizvietojiet vērtības \(a = 4 \), \(b = -5 \) un \(r = 4 \):
\[ (x–4)^2 + (y + 5)^2 = 4^2 \]
\[ (x–4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
Tātad, apļa vienādojums ir:
\[ (x–4)^2 + (y + 5)^2 = 16 \]
4. jautājuma piemērs
Jautājums: Aplim ir vienādojums \(x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \). Nosakiet apļa centru un rādiusu.
Risinājums:
Lai atrisinātu šo vienādojumu, tas jāpārveido standarta formā \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \). Lai to pabeigtu, veiciet šādas darbības:
1. Ideālo kvadrātu grupēšana un risināšana:
Sākotnējais vienādojums ir:
\[ x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0 \]
Grupa \(x \) un \(y \):
\[ (x^2 – 6x) + (y^2 + 4y) = 12 \]
2. Atrisiniet perfekto kvadrātu:
Attiecībā uz \(x^2 – 6x \):
\[x^2 – 6x + 9 \]
Attiecībā uz \(y^2 + 4y \):
\[y^2 + 4y + 4 \]
Pievienojiet 9 un 4 abām vienādojuma pusēm:
\[ (x^2 – 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 \]
\[ (x–3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
Tātad, apļa vienādojums standarta formā ir:
\[ (x–3)^2 + (y + 2)^2 = 25 \]
No šejienes var redzēt, ka apļa centrs ir \((3, -2) \) un rādiuss ir \(r = \sqrt{25} = 5 \).
5. jautājuma piemērs
Jautājums: Nosakiet riņķa līnijas vienādojumu, kas iet caur punktiem (2, 3) un (4, 5), un kuras centrs atrodas uz taisnes x = 3.
Risinājums:
No jautājuma mēs zinām, ka apļa centrs ir (3, b). Aplis arī iet caur diviem zināmiem punktiem. Tā kā aplis iet caur (2, 3), attālums no centra līdz šim punktam ir rādiuss.
Apļa vienādojums ir:
[(x – 3)^2 + (y – b)^2 = r^2]
Aizvietošanas punkts (2, 3):
\[(2 – 3)^2 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[1 + (3 – b)^2 = r^2 \]
\[(3 – b)^2 = r^2 – 1 \]
Aizvietošanas punkts (4, 5):
\[(4 – 3)^2 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[1 + (5 – b)^2 = r^2 \]
\[(5 – b)^2 = r^2 – 1 \]
No abiem vienādojumiem mēs zinām (3 – b)^2 = (5 – b)^2. Tātad:
\[3 – b = \pm(5 – b) \]
Ja \(3 – b = 5 – b \), tad rezultāts nevar būt patiess. Tātad:
\[3 – b = -(5 – b) \]
\[b = 4 \]
Ar b = 4, apļa vienādojums ir:
\[ (x–3)^2 + (y–4)^2 = 2 \]
Tomēr rādiusu r varam aprēķināt no attāluma starp centru un punktu (2, 3) = \(\sqrt{(2 – 3)^2 + (3 – 4)^2} \) = \(\sqrt{1+1}\) = \(\sqrt {2}\)
Apļa vienādojums ir:
\[ (x–3)^2 + (y–4)^2 = 2 \]
Secinājums
Apļa vienādojuma izpratne var vienkāršot daudzu matemātikas uzdevumu risināšanu. Katrā gadījumā ir ļoti svarīgi noteikt centru un rādiusu. Cerams, ka šie uzdevumu piemēri un to skaidrojumi sniegs skaidrojumu un palīdzēs jums apgūt apļa vienādojumu. Matemātikā prakse dara meistaru, tāpēc nevilcinieties izmēģināt dažādus uzdevumus, lai uzlabotu savas prasmes.
