Vektoru atņemšanas jautājumu piemēri un diskusija
Pendahuluan
Matemātikā un fizikā vektori ir pamatjēdziens, ko izmanto, lai izskaidrotu daudzas dabas un inženiertehniskās parādības. Vektors ir lielums, kam ir gan lielums, gan virziens. Daži svarīgi vektoru piemēri ir pārvietojums, ātrums, paātrinājums un spēks. Šajā rakstā mēs apspriedīsim vektoru atņemšanu, lai gan šī tēma bieži tiek uzsvērta vektoru apvienošanas kontekstā.
Vektoru atņemšana ir fundamentāla darbība, kurai ir izšķiroša nozīme vektoru analīzē. Lai padziļināti izpētītu šo koncepciju, apskatīsim dažus piemērus problēmām un diskusijas, kas saistītas ar vektoru atņemšanu.
Vektoru atņemšana
Vektoru atņemšana {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} ir definēta kā vektora {\displaystyle \mathbf{A}} saskaitīšanas darbība ar vektoru {\displaystyle -\mathbf{B}}, kur {\displaystyle -\mathbf{B}} ir vektors ar tādu pašu lielumu kā {\displaystyle \mathbf{B}}, bet ar pretēju virzienu. Matemātiski to var uzrakstīt šādi:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}
Parauga jautājumi un diskusija
1. jautājums: Divdimensiju vektoru atņemšana
Pieņemsim, ka Dekarta koordinātēs ir divi vektori:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} un {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. Aprēķiniet {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}}.
Diskusija:
Pirmais solis ir atrast negatīvo vektoru {\displaystyle \mathbf{B}}, proti:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
Pēc tam pievienojiet vektoru {\displaystyle \mathbf{A}} ar {\displaystyle -\mathbf{B}}:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}
Veiciet vektoru saskaitīšanu, saskaitot katru x un y komponenti:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}
Tātad, atņemot vektorus {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}}, iegūst vektoru (3, 1).
2. jautājums: Trīsdimensiju vektoru atņemšana
Doti divi vektori trīsdimensiju koordinātēs:
{\displaystyle \mathbf{P} = (2, -4, 6)} un {\displaystyle \mathbf{Q} = (-3, 5, 7)}. Aprēķiniet {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}}.
Diskusija:
Pirmais solis ir atrast negatīvo vektoru {\displaystyle \mathbf{Q}}:
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
Pēc tam pievienojiet vektoru {\displaystyle \mathbf{P}} ar {\displaystyle -\mathbf{Q}}:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
Veiciet vektoru saskaitīšanu, saskaitot katru x, y un z komponenti:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}
Tātad, atņemot vektorus {\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q}}, iegūst vektoru (5, -9, -1).
3. jautājums: Vektoru atņemšana kompleksajā plaknē
Pieņemsim, ka ir divi vektori, kas attēloti ar kompleksiem skaitļiem:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} un {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. Aprēķiniet {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}}.
Diskusija:
Pirmais solis ir atrast negatīvo vektoru {\displaystyle \mathbf{N}}:
{\displaystyle -\mathbf{N} = -1–2i}
Pēc tam pievienojiet vektoru {\displaystyle \mathbf{M}} ar {\displaystyle -\mathbf{N}}:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}
Veiciet vektoru saskaitīšanu, saskaitot katru reālo un imagināro komponentu:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}
Tātad, atņemot vektorus {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}}, iegūst komplekso skaitli 2 + 2i.
4. jautājums: Vektoru atņemšana polāro koordinātu sistēmā
Pieņemsim, ka polārajās koordinātēs ir divi vektori:
{\displaystyle \mathbf{U}} ir 5 lielums un 30° leņķis,
un {\displaystyle \mathbf{V}} ir ar lielumu 3 un leņķi 150°.
Aprēķiniet {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}}.
Diskusija:
Pirmais solis ir vektoru {\displaystyle \mathbf{U}} un {\displaystyle \mathbf{V}} konvertēšana Dekarta koordinātēs.
{\displaystyle \mathbf{U}}:
{\displaystyle U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33}
{\displaystyle U_y = 5 \sin(30^\circ) = 5 \left(\frac{1}{2}\right) = 5 \cdot 0.5 = 2.5}
Tātad {\displaystyle \mathbf{U}} Dekarta sistēmā ir (4.33, 2.5).
{\displaystyle \mathbf{V}}:
{\displaystyle V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
{\displaystyle V_y = 3 \sin(150^\circ) = 3 \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot 0.5 = 1.5}
Tātad {\displaystyle \mathbf{V}} Dekarta sistēmā ir (-2.598, 1.5).
Nākamais solis ir aprēķināt vektoru atņemšanu Dekarta sistēmā:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)}
Tas nozīmē, ka, saskaitot vektora negatīvo daļu:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (6.928, 1)}
Tātad, atņemot vektoru {\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V}} Dekarta koordinātēs, iegūstam (6.928, 1).
Secinājums
Vektoru atņemšana ir būtiska matemātiska darbība daudzās jomās, kurās tiek izmantota vektoru analīze. Neatkarīgi no tā, vai tā ir divdimensiju, trīsdimensiju, kompleksa vai polāro koordinātu sistēma, pamatprincips paliek nemainīgs: viena vektora pievienošana otra vektora negatīvajam skaitlim. Iepriekš minētie piemēri ilustrē dažādus veidus, kā pielietot šo darbību dažādos kontekstos, palīdzot mums dziļāk un praktiski izprast šo jēdzienu.
