Piemēru jautājumi par integrāļu pielietojumu fizikā
Integrāļu izmantošana fizikā ir ļoti svarīgs un plašs jēdziens. Integrāļu pielietojums ļauj fiziķiem un inženieriem aprēķināt dažādas sarežģītas dabas parādības, kas saistītas ar kustību, enerģiju, spēku vai citiem aspektiem. Šajā rakstā tiks aplūkotas vairākas piemēru problēmas un apspriesta integrāļu pielietojums fizikā.
1. Darba aprēķināšana ar mainīgu spēku
Jautājums
Spēku, kas mainās atkarībā no pozīcijas \(x\), izsaka ar \(F(x) = 3x^2 \). Aprēķiniet šī spēka paveikto darbu, kad objekts pārvietojas no \(x = 0\) līdz \(x = 2 \) metriem.
Diskusija
Mainīga spēka paveiktais darbs ir spēka integrālis attālumā. Ja ir dots spēks \(F(x) \) kā pozīcijas \(x\) funkcija, darbu var izteikt kā:
[W = ∫_{a}^{b} F(x) = dx]
Šajā gadījumā:
F(x) = 3x^2
\[ a = 0 \, \text{metrs} \]
\[ b = 2 \, \text{metrs} \]
Tad darbs \(W\) ir:
\[W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]
Mēs aprēķinām šo integrāli:
\[
W = 3 ∫_{0}^{2} x^2 ∫, dx
= 3 \kreisais[ \frac{x^3}{3} \labais]_{0}^{2}
= 3 (2^3}{3} – 0^3}{3})
= 3 (\frac{8}{3} – 0 \right)
= 8 \, \text{Džouls}
\]
Tātad spēka veiktais darbs ir 8 džouli.
2. Homogēna stieņa masas centra aprēķināšana
Jautājums
Homogēns stienis ar garumu \(L\) atrodas uz x ass no \(x = 0 \) līdz \(x = L \). Aprēķiniet stieņa masas centra pozīciju.
Diskusija
Homogēnam stienim masa ir vienmērīgi sadalīta visā tā garumā. Var pieņemt, ka stienim ir nemainīga lineārā masa \(\lambda\) (masa uz garuma vienību).
Masas centru (\(x_{cm}\)) aprēķina šādi:
[x_{cm} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]
Tā kā masa ir sadalīta homogēni, mēs varam izteikt \(dm = \lambda \, dx\) un robežintegrāli no \(x = 0\) līdz \(x = L\):
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \lambda \, dx}{\int_{0}^L \lambda \, dx}
\]
Integrācija virs \(\lambda\) ir konstanta un to var atsaukt:
\[
x_{cm} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}}{ \left[ x \right]_{0}^{L} }
= \frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]
Tātad stieņa masas centra pozīcija ir \( \frac{L}{2} \) jeb stieņa vidū.
3. Elektrostatiskā spēka aprēķināšana, pamatojoties uz Kulona likumu
Jautājums
Divi lādiņi \(q_1\) un \(q_2\) atrodas gar x asi attiecīgi punktos \(x = 0\) un \(x = L\). Aprēķiniet elektrostatisko spēku starp abiem lādiņiem.
Diskusija
Kulona likums nosaka, ka spēks starp diviem punktveida lādiņiem ir tieši proporcionāls lādiņu reizinājumam un apgriezti proporcionāls attāluma kvadrātam starp tiem:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Kur:
– \(k_e\) ir Kulona konstante \(8.99 \x 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2)\)
– \(r\) ir attālums starp lādiņiem
Šajā gadījumā \(q_1\) un \(q_2\) atrodas punktos \(x = 0\) un \(x = L\), tad attālums \(r = L\).
Elektrostatiskais spēks ir:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]
Šis ir bieži izmantots risinājums elektrostatiskā spēka aprēķināšanai starp diviem punktveida lādiņiem, kas novietoti noteiktā attālumā.
4. Magnētiskās plūsmas aprēķināšana
Jautājums
Apļveida stieples cilpa ar rādiusu \(r\) ir ievietota vienmērīgā magnētiskajā laukā \(B\), kas ir perpendikulārs cilpas plaknei. Aprēķiniet magnētisko plūsmu caur cilpu.
Diskusija
Magnētiskā plūsma (\(\Phi_B\)) caur laukumu \(A\) magnētiskajā laukā \(B\) ir aprēķināta ar:
\[ \Phi_B = \int B \cdot dA \]
Tā kā magnētiskais lauks \(B\) ir vienmērīgs un perpendikulārs cilpas plaknei, vienkāršais integrālis kļūst par:
\[ \Phi_B = B \cdot A \]
Kur apļa laukums \(A\) ar rādiusu \(r\) ir:
\[A = \pi r^2 \]
Tad magnētiskā plūsma caur cilpu ir:
\[ \Phi_B = B \cdot \pi r^2 \]
Tātad, magnētiskā plūsma caur cilpu ir \(B \pi r^2 \).
Secinājums
Integrāļu izmantošana fizikā ir neizbēgama, kad mums ir jāaprēķina informācija, kas saistīta ar sarežģītām dabas parādībām. Sākot ar mainīga spēka veiktā darba aprēķināšanu, objekta masas centra noteikšanu, elektrostatisko spēku aprēķināšanu, pamatojoties uz Kulona likumu, līdz magnētiskās plūsmas aprēķināšanai caur stieples cilpu magnētiskajā laukā, visi šie uzdevumi balstās uz integrāļiem problēmu risināšanā. Rūpīga izpratne par to, kā integrāļi darbojas dažādos fizikas kontekstos, ne tikai vienkāršo problēmu risināšanu, bet arī sniedz dziļāku ieskatu Visuma mehānikā molekulārā un galaktikas līmenī.
