Piemēru jautājumi par saliktu notikumu varbūtību
Ievads salikto notikumu varbūtībā
Varbūtība ir matemātikas nozare, kas pēta notikuma iespējamību. Salikta notikuma varbūtība ir tāda notikuma varbūtība, kas ietver vairāk nekā vienu notikumu. Piemēram, varbūtība uzmest pāra skaitli uz kauliņa un dūzi no spēļu kāršu kavas ir saliktu notikumu piemēri. Šajā rakstā tiks aplūkotas vairākas uzdevumu piemēru tēmas un apspriesta saliktu notikumu varbūtība.
Saliktu notikumu varbūtības pamatjēdziens
Pastāv divu veidu salikti notikumi:
1. Savstarpēji izslēdzoši notikumi: divi notikumi, kas nevar notikt vienlaicīgi. Piemēram, metot kauliņu, 2 un 5 uzmešana ir savstarpēji izslēdzoši notikumi, jo abus skaitļus vienlaicīgi uzmest nav iespējams.
2. Savstarpēji neizslēdzoši notikumi: Divi notikumi, kas var notikt vienlaicīgi. Piemēram, spēļu kāršu izlozē notikumi, kad tiek iegūta sirds kārts (♥) un kārts ar skaitli 10, nav savstarpēji izslēdzoši notikumi, jo ir sirds kārts ar skaitli 10.
Šeit ir dažas pamata formulas, ko izmanto saliktu notikumu varbūtības aprēķināšanai:
– P(A vai B) (savstarpēji neizslēdzošiem notikumiem): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A vai B) (savstarpēji izslēdzošiem notikumiem): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A un B) (neatkarīgiem notikumiem): \(P(A ≤ B) = P(A) ⋅ P(B)\)
Parauga jautājumi un diskusija
1. jautājuma piemērs: Kauliņi
Jautājums:
Kāda ir varbūtība, ka uz kauliņa uzkritīs pāra skaitlis vai skaitlis, kas lielāks par 4?
Diskusija:
Vispirms definēsim notikumus:
– Notikums A: Pāra skaitļa iegūšana (2, 4, 6)
– Notikums B: Iegūts skaitlis, kas lielāks par 4 (5, 6)
Tālāk mēs nosakām katra notikuma varbūtību:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
Tā kā abos notikumos A un B ir iekļauts skaitlis 6, mums jāaprēķina \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (jo gan A, gan B ir iekļauts tikai viens skaitlis, proti, 6)
Izmantojot formulu savstarpēji neizslēdzošiem notikumiem:
\[P(A \tase B) = P(A) + P(B) – P(A \tase B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]
Pielīdzināsim šo daļskaitļu saucējus:
\[P(A \tase B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Tātad varbūtība iegūt pāra skaitli vai skaitli, kas lielāks par 4, ir \(\frac{2}{3}\).
2. jautājuma piemērs: spēļu kārtis
Jautājums:
Kāda ir varbūtība no spēļu kāršu kavas iegūt dūzi vai pīķi?
Diskusija:
Vispirms definēsim notikumus:
– Notikums A: Dūza kārts iegūšana (kopā 4, pa vienai no katras masts)
– Notikums B: Pīķa kārts iegūšana (kopā 13)
Tālāk mēs nosakām katra notikuma varbūtību:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Tā kā pīķa dūzis ir iekļauts gan notikumā A, gan B, mums jāaprēķina \(P(A \cap B)\):
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
Izmantojot formulu savstarpēji neizslēdzošiem notikumiem:
\[P(A \tase B) = P(A) + P(B) – P(A \tase B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]
Pielīdzināsim šo daļskaitļu saucējus:
\[
P(A ≈ B) = ∫₀ (452) + ∫₀ (1352) – ∫₀ (152) = ∫₀ (1652) = ∫₀ (413)
\]
Tātad, varbūtība iegūt dūzi vai pīķi ir \(\frac{4}{13}\).
3. uzdevuma piemērs: bumba kastē
Jautājums:
Kastē ir 3 sarkanas bumbiņas, 4 zilas bumbiņas un 5 zaļas bumbiņas. Ja nejauši tiek izvilkta viena bumbiņa, kāda ir varbūtība iegūt sarkanu vai zaļu bumbiņu?
Diskusija:
Vispirms definēsim notikumus:
– Notikums A: Sarkanās bumbas iegūšana (numurs 3)
– Notikums B: Zaļas bumbas iegūšana (numurs 5)
Tālāk mēs nosakām katra notikuma varbūtību:
– Kopējais bumbiņu skaits = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Tā kā neviena bumba nevar būt vienlaikus gan sarkana, gan zaļa, šie notikumi ir savstarpēji izslēdzoši:
\[P(A \tase B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Pielīdzināsim šo daļskaitļu saucējus:
\[
P(A ≈ B) = ∫¹⁸ + ∫¹⁸ = ∫¹⁸ (8 ≈ 12 %) = ∫¹⁸ (2 ≈ 3 %)
\]
Tātad varbūtība iegūt sarkanu vai zaļu bumbu ir \(\frac{2}{3}\).
4. jautājuma piemērs: divas monētas
Jautājums:
Ja vienlaikus tiek mestas divas monētas, kāda ir varbūtība, ka parādīsies vismaz viena galviņa?
Diskusija:
Mēs definējam notikumu A: vismaz viena attēla piedzīvošana.
Divu monētu mešanai ir četri iespējamie rezultāti:
1. HH
2. HT
3. TH
4. TT
Notikumi, kuros ir vismaz viens attēls, ir šādi:
– HT
– TH
– TT
Aprēķināsim katra varbūtību:
– Iespējamo notikumu skaits (kopā): 4
– Notikumu skaits, kuros ir vismaz viens attēls: 3
\[
P(A) = \frac{Notikumu skaits ar vismaz vienu galveno elementu}{Kopējais notikumu skaits} = \frac{3}{4}
\]
Tātad vismaz viena attēla parādīšanās varbūtība ir \(\frac{3}{4}\).
Secinājums
Iepriekš minēto problēmu apspriešana parāda, kā mēs varam aprēķināt salikta notikuma varbūtību neatkarīgi no tā, vai tas ir savstarpēji izslēdzošs vai neizslēdzošs. Izprotot pamatjēdzienus un izmantojot pareizas formulas, mēs varam noteikt noteiktu notikumu kombināciju varbūtību dažādās ikdienas situācijās. Turpiniet praktizēt savas prasmes ar dažādiem uzdevumiem, lai kļūtu prasmīgāki saliktu notikumu varbūtības noteikšanā.
