Piemēru jautājumi un diskusija par apļiem un akordiem
Aplis ir viena no ģeometriskām pamatformām, ko bieži pēta matemātikā. Viens svarīgs ar apļiem saistīts jēdziens ir horda — līnija, kas savieno divus punktus uz apļa, nešķērsojot tā centru. Apļu un hordu izpratne ir būtiska ģeometrijas apguvei. Šajā rakstā tiks aplūkoti vairāki ar apļiem un hordām saistīti uzdevumu piemēri un diskusijas, lai padziļinātu mūsu izpratni par šiem jēdzieniem.
Pamata izpratne
Lingkaran
Aplis ir visu plaknes punktu kopums, kas atrodas vienādā attālumā no dotā punkta, ko sauc par centru. Ja apļa centrs ir punkts O un apļa rādiuss ir r, tad apli var izteikt ar vienādojumu (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² Dekarta formā.
Loka aukla
Horda riņķa līnijā ir līnija, kas savieno divus punktus uz riņķa līnijas. Hordas garums ir atkarīgs ne tikai no riņķa līnijas rādiusa, bet arī no centrālā leņķa lieluma, kas vērsts pret to.
Parauga jautājumi un diskusija
1. jautājums:
Jautājums: Dots aplis ar rādiusu 10 cm un horda AB ar garumu 16 cm. Nosakiet īsāko attālumu no apļa centra līdz hordai.
Diskusija:
Lai atrastu attālumu no apļa centra līdz hordai, mēs varam izmantot taisnleņķa trijstūra formulu, kas veidota starp rādiusu, attālumu no centra līdz hordai un pusi no hordas garuma.
Pieņemsim, ka punkts O ir riņķa līnijas centrs un punkts P ir punkts hordas AB vidū, kas ir perpendikulāra AB. Tādējādi OP ir attālums no riņķa līnijas O centra līdz hordai AB.
Trijstūrī OAP (taisnais trijstūris punktā P) varam pielietot Pitagora teorēmu:
OP² + AP² = OA²
Mēs zinām, ka:
– OA (apļa rādiuss) = 10 cm
– AB (loka auklas garums) = 16 cm, tātad AP = 16/2 = 8 cm.
Aizvietojiet zināmās vērtības vienādojumā:
OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100–64
OP² = 36
OP = √36
OP = 6
Tātad, īsākais attālums no apļa centra līdz hordai ir 6 cm.
2. jautājums:
Jautājums: Apļa rādiuss ar centru O ir 8 cm. Horda AB veido centrālo leņķi ∠AOB 120°. Nosakiet hordas AB garumu.
Diskusija:
Lai aprēķinātu hordas garumu, kas veido centrālo leņķi (θ), varam izmantot formulu:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Kur:
– r ir apļa rādiuss (šajā jautājumā 8 cm)
– θ ir leņķis, ko veido horda apļa centrā (šajā uzdevumā 120°)
Aizstājiet zināmās vērtības:
AB = 2 × 8 cm × sin (120°/2)
AB = 16 cm × sin(60°)
AB = 16 cm × (√3 / 2)
AB = 8√3 cm
Tātad hordas AB garums ir 8√3 cm.
3. jautājums:
Jautājums: Aplis ar rādiusu 13 cm un hordu AB atrodas 5 cm attālumā no apļa centra. Nosakiet hordas AB garumu.
Diskusija:
Šajā gadījumā hordas garuma aprēķināšanai varam izmantot izveidoto taisnleņķa trijstūri. Pieņemsim, ka punkts O ir riņķa līnijas centrs, punkts P ir punkts uz hordas, kas atrodas vistuvāk centram, un AB ir horda.
Mēs zinām:
– OA (apļa rādiuss) = 13 cm
– OP (attālums no centra līdz loka auklai) = 5 cm.
OAP trijstūrī:
OP² + AP² = OA²
Mēs atrodam AP (pusi no akorda garuma):
5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169–25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12
Tātad, hordas garums AB = 2 × AP = 2 × 12 = 24 cm.
4. jautājums:
Jautājums: Dots aplis ar rādiusu 10 cm. Hordas AB garums ir 12 cm. Nosakiet centrālā leņķa ∠AOB lielumu.
Diskusija:
Šajā gadījumā centrālā leņķa ∠AOB noteikšanai jāizmanto trigonometriskās funkcijas apgrieztā vērtība. Pamatojoties uz formulu hordas garumam, kas ietver centrālo leņķi θ, mēs varam pārrakstīt formulu, lai aprēķinātu θ:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Kur:
– r ir apļa rādiuss (10 cm)
– AB ir loka auklas garums (12 cm)
Izveidojiet vienādojumu, lai izolētu sin(θ/2):
12 = 2 × 10 × sin(θ/2)
12 = 20 × sin(θ/2)
sin(θ/2) = 12/20
sin(θ/2) = 0.6
Atrodiet θ/2 vērtību:
θ/2 = sin^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
Tātad,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
Tātad centrālais leņķis ∠AOB ir 73.74°.
Secinājums
Apļu un akordu apguvei ir nepieciešamas pamatģeometrijas un trigonometrijas zināšanas. Iepriekš minētajos piemēros mēs redzējām, kā problēmu risināšanai izmantot dažādas formulas un teorēmas, piemēram, Pitagora teorēmu, trigonometriskās funkcijas un apļu pamatīpašības.
Ar šo praktisko uzdevumu palīdzību cerams, ka varēs panākt dziļāku izpratni par rādiusa, hordas garuma un iegūtā centrālā leņķa savstarpējo saistību. Šī jēdziena izpratne ir noderīga ne tikai skolas matemātikā, bet arī ikdienas pielietojumos dažādās zinātnes un inženierzinātņu jomās.
