Piemēru jautājumi un funkciju sastāva apspriešana
Funkciju salikšana ir matemātikas jēdziens, kurā divas funkcijas tiek apvienotas vienā. Ja \(f \) un \(g \) ir divas funkcijas, tad \(f \) un \(g \) salikšana ir jauna funkcija, kas definēta kā \(f \circ g)(x) \), kas nozīmē \(f(g(x)) \). Šajā rakstā mēs apspriedīsim vairākus ar funkciju salikšanu saistītu problēmu piemērus un to risināšanas veidus.
1. Funkcionālā sastāva pamatzināšanas
Pirms ķeramies pie piemēru jautājumiem, īsi sapratīsim, kas ir funkciju kompozīcija.
Pieņemsim, ka ir divas funkcijas \(f \) un \(g \):
– Funkcija \(f \): \(x \mapsto f(x) \)
– Funkcija \(g \): \(x \mapsto g(x) \)
Funkciju \(f \) un \(g \) salikums, kas pierakstāms kā \(f \circ g \), ir funkcija, kas apmierina:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Šeit \(g(x) \) ir funkcijas \(f \) ieeja.
2. 1. jautājuma piemērs
Jautājums:
Dota funkcija \(f(x) = 2x + 3 \) un funkcija \(g(x) = x – 5 \). Nosakiet \(f \circ g)(x) \) un \(g \circ f)(x) \).
Diskusija:
Aprēķināsim pirmo kompozīciju \((f \circ g)(x) \):
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Pirmajā solī mēs ievietojam \(g(x) \) \(f(x) \):
[g(x) = x – 5]
f(g(x)) = f(x – 5)
Otrajā solī funkcijā f ievadām \(x – 5 \):
\[f(x – 5) = 2(x – 5) + 3 \]
\[ = 2x – 10 + 3 \]
\[ = 2x – 7 \]
Tātad, (f ap g)(x) = 2x – 7).
Tagad aprēķināsim otro sastāvu ((g \circ f)(x) \):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
Pirmajā solī mēs ievietojam \( f(x) \) \( g(x) \):
\[f(x) = 2x + 3 \]
[g(f(x)) = g(2x + 3)]
Otrajā solī funkcijā g ievietojam \(2x + 3 \):
\[g(2x + 3) = (2x + 3) – 5 \]
\[ = 2x + 3 – 5 \]
\[ = 2x – 2 \]
Tātad, (g ap f)(x) = 2x – 2).
3. 2. jautājuma piemērs: Funkciju salikšana ar kvadrātfunkcijām
Jautājums:
Dota funkcija \(f(x) = x^2 + 1 \) un funkcija \(g(x) = 3x – 4 \). Nosakiet \(f \circ g)(x) \) un \(g \circ f)(x) \).
Diskusija:
Aprēķināsim pirmo kompozīciju \((f \circ g)(x) \):
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Pirmajā solī mēs ievietojam \(g(x) \) \(f(x) \):
\[g(x) = 3x – 4 \]
[f(g(x)) = f(3x – 4)]
Otrajā solī funkcijā f ievadām \(3x – 4 \):
f(3x – 4) = (3x – 4)^2 + 1
\[ = (3x – 4)(3x – 4) + 1 \]
\[ = 9x^2 – 12x \cdot 2 + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 16 + 1 \]
\[ = 9x^2 – 24x + 17 \]
Tātad, \( (f \circ g) (x) = 9x^2 – 24x + 17 \).
Tagad aprēķināsim otro sastāvu ((g \circ f)(x) \):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
Pirmajā solī mēs ievietojam \( f(x) \) \( g(x) \):
f(x) = x^2 + 1
[g(f(x)) = g(x^2 + 1)]
Otrajā solī funkcijā g ievadām \(x^2 + 1 \):
\[g(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1) – 4 \]
\[ = 3x^2 + 3 – 4 \]
\[ = 3x^2 – 1 \]
Tātad, (g ap f)(x) = 3x^2 – 1).
4. 3. jautājuma piemērs: Trigonometrisko funkciju kompozīcija
Jautājums:
Dota funkcija \(f(x) = \sin x \) un funkcija \(g(x) = x^2 \). Nosakiet \(f \circ g)(x) \) un \(g \circ f)(x) \).
Diskusija:
Aprēķināsim pirmo kompozīciju \((f \circ g)(x) \):
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Pirmajā solī mēs ievietojam \(g(x) \) \(f(x) \):
[g(x) = x^2]
f(g(x)) = f(x^2)
Otrajā solī funkcijā f ievadām \(x^2 \):
f(x^2) = sin (x^2)
Tātad, (f √g)(x) = √sin (x^2)).
Tagad aprēķināsim otro sastāvu ((g \circ f)(x) \):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
Pirmajā solī mēs ievietojam \( f(x) \) \( g(x) \):
f(x) = ∫sin x
[g(f(x)) = g(sin x)]
Otrajā solī funkcijā g ievietojam \( \sin x \):
g(\sin x) = (\sin x)^2
[ = sin^2 x ]
Tātad, (g √f₁)(x) = √sin² x).
Secinājums
Funkciju kompozīcija ir veids, kā apvienot divas funkcijas vienā funkcijā. No iepriekš minētajiem piemēriem mēs uzzinājām, ka funkciju kompozīcijas process ietver vienas funkcijas aizstāšanu ar citu. Funkciju kompozīcijas gala rezultāts ir ļoti atkarīgs no secības, kādā funkcijas tiek lietotas vispirms.
Ir svarīgi saprast, ka \((f \circ g)(x) \) ne vienmēr ir tas pats, kas \(g \circ f)(x) \), un šī atšķirība var būt ļoti nozīmīga dažādos matemātikas un dabaszinību pielietojumos. Tāpēc ikvienam, kurš studē matemātiku vidējā vai padziļinātā līmenī, ir ļoti svarīgi izprast pamatus un to, kā aprēķināt funkciju sastāvu.
Cerams, ka iepriekš minētā diskusija un jautājumu piemēri ir noderīgi un palīdzēs lasītājiem izprast funkciju sastāvu.
