Diskusijas jautājuma piemērs par noteikšanas koeficientu
Noteikšanas koeficients (R²) ir svarīgs regresijas analīzes parametrs, kas norāda, cik labi regresijas modelis izskaidro datu faktisko mainīgumu. Šajā rakstā mēs izskaidrosim noteikšanas koeficienta jēdzienu, izmantojot detalizētu piemēru un diskusiju.
Noteikšanas koeficienta pamatjēdziens
Noteikšanas koeficients jeb \(R^2 \) tiek mērīts skalā no 0 līdz 1, kur:
– \( R^2 = 0 \) norāda, ka regresijas modelis vispār nespēj izskaidrot datu mainīgumu.
– \( R^2 = 1 \) parāda, ka regresijas modelis spēj perfekti izskaidrot visu datu mainīgumu.
Noteikšanas koeficienta aprēķināšanas pamatformula ir šāda:
\[R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Kur:
– SSR (kvadrātveida atlikumu summa) ir modeļa prognozēto vērtību un faktisko vērtību starpību kvadrātu summa.
– SST (kopējā kvadrātu summa) ir faktiskās vērtības un faktisko vērtību vidējās vērtības starpību kvadrātu summas kopsumma.
Problēmu piemērs
Apspriedīsim problēmas piemēru, lai padziļināti izprastu noteikšanas koeficienta aprēķināšanu.
Problēmu piemērs:
Pieņemsim, ka mums ir dati par 10 studentu mācību stundu skaitu (X) un eksāmenu rezultātiem (Y):
| Studenti | Mācību stundas (X) | Eksāmena rezultāts (Y) |
|——-|———————–|———————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Mēs izveidosim vienkāršu lineāras regresijas modeli, kurā eksāmenu rezultāti (Y) tiek prognozēti, pamatojoties uz mācību stundām (X).
Diskusija
1. Vienkārša lineārās regresijas modeļa izveide
Vienkāršam lineāras regresijas modelim ir šāda forma:
[Y = a + bX]
Kur:
– \(Y \) ir prognozētais testa rezultāts.
– \(X \) ir mācību stundu skaits.
– \(a \) ir krustpunkts (krustošanās punkts uz Y ass, kad X = 0).
– \(b \) ir slīpums (regresijas taisnes slīpums).
Lai aprēķinātu parametrus \(a \) un \(b \), mēs izmantojam šādu formulu:
\[b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
Kur \(n \) ir datu skaits (šajā gadījumā n = 10).
No tabulas mēs varam aprēķināt:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\summa{Y} = 704\)
– \(\summa{X^2} = 140\)
– \(\summa{Y^2} = 50428\)
– \(\summa{XY} = 2576\)
Vispirms aprēķināsim b:
\[b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[b = \frac{25760–25344}{1400–1296} \]
\[b = \frac{416}{104} \]
\[b = 4 \]
Tad mēs aprēķinām:
\[a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Tātad, iegūtais lineārās regresijas modelis ir šāds:
\[Y = 56 + 4X \]
2. Aprēķiniet paredzamo vērtību (Y')
Tālāk mēs aprēķinām paredzamo vērtību \(Y' \) katram \(X \):
| Studenti | Mācību stundas (X) | Eksāmena rezultāts (Y) | Paredzamais rezultāts (Y') |
|——-|———————–|———————–|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | (56 + 4(2) = 64) |
| 2 | 3 | 64 | (56 + 4(3) = 68) |
| 3 | 4 | 70 | (56 + 4(4) = 72) |
| 4 | 5 | 85 | (56 + 4(5) = 76) |
| 5 | 2 | 57 | (56 + 4(2) = 64) |
| 6 | 3 | 68 | (56 + 4(3) = 68) |
| 7 | 4 | 72 | (56 + 4(4) = 72) |
| 8 | 5 | 90 | (56 + 4(5) = 76) |
| 9 | 3 | 62 | (56 + 4(3) = 68) |
| 10 | 4 | 78 | (56 + 4(4) = 72) |
3. SSR un SST aprēķināšana
Tālāk mēs aprēķinām SSR un SST, lai iegūtu \(R^2 \).
SSR:
\[SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \summa{(Y – \bar{Y})^2} \]
Kur:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Noteikšanas koeficienta (R^2) aprēķināšana:
\[R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[R^2 = 1 – 0.41 \]
\[R^2 = 0.59 \]
Secinājums
No iepriekš minētā aprēķina mēs ieguvām noteikšanas koeficientu (R2 = 0.59). Tas norāda, ka mūsu izveidotais lineārās regresijas modelis var izskaidrot aptuveni 59% no eksāmenu rezultātu mainīguma, pamatojoties uz mācību stundām. Atlikušo 41% mainīguma varētu būt saistīts ar citiem faktoriem, kas nav iekļauti modelī.
Izprotot iepriekš minētās darbības un aprēķinus, mēs varam saskatīt noteikšanas koeficienta nozīmi, novērtējot, cik labi mūsu veidotais regresijas modelis izskaidro datu faktisko mainīgumu. Tas ir ļoti noderīgs rīks statistiskajā analīzē un datu modelēšanā.
