Piemēru jautājumi un diskusija par apļa sektoriem
Apļa sektori ir svarīga tēma matemātikā, kas bieži parādās eksāmenos un praktiskos uzdevumos. Sektors ir apļa daļa, ko ierobežo divi rādiusi un tos savienojošais loks. Šajā rakstā mēs apspriedīsim vairākus apļa sektoru uzdevumu piemērus, kā arī sniegsim detalizētus skaidrojumus, lai padziļinātu mūsu izpratni.
Apļa sektora definīcija
Apļa sektors ir apļa sektors, ko ierobežo divi rādiusi un viens loks. Sektora laukums tiek aprēķināts, pamatojoties uz daļu no apļa kopējā laukuma. Galvenā formula, ko izmanto sektora aprēķināšanai, ir šāda:
– Juringa laukums: \[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \reiz \pi \reiz r^2\]
– Loka garums: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \reiz 2\pi r\]
Kur:
– \( \theta \) ir sektora leņķa lielums grādos,
– \(r \) ir apļa rādiuss,
– \( \pi \) ir konstante (aptuveni 3.14159).
Parauga jautājumi un diskusija
1. jautājums:
Dots aplis ar rādiusu 10 cm un sektors ar centrālo leņķi 90°. Aprēķiniet sektora laukumu.
Diskusija:
Ir zināms:
– \(r = 10 \) cm
– \( \heta = 90^\circ \)
Nozares apgabala aprēķināšanai izmantojam formulu:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \reiz \pi \reiz r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \reizes \pi \reizes (10\text{cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \pi \reizes 100\text{cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ cm}^2\]
Ja \( \pi \) tiek pieņemts kā 3.14, tad:
\[L_juring = 25 \reiz 3.14\cm}^2 = 78.5\cm}^2\]
Tātad sektora platība ir 38 465 cm².
2. jautājums:
Apļa sektora rādiuss ir 7 cm un loka garums ir 11 cm. Nosakiet sektora centrālo leņķi radiānos.
Diskusija:
Ir zināms:
– \(r = 7 \) cm
– Loka garums \(P_b = 11 \text{ cm} \)
Leņķa \( \theta \) aprēķināšanai izmantojam loka garuma formulu:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \reiz 2\pi r\]
Tā kā mums lūdz atrast leņķi radiānos, mēs 360° aizstājam ar \(2\pi\) radiāniem:
\[P_b = \theta \reiz r\]
\[11 = \theta \reiz 7\]
[theta = \frac{11}{7}]
\[\theta \aptuveni 1.57 \text{ rad}\]
Tātad sektora centrālais leņķis ir 1.57 radiāni.
3. jautājums:
Aplim ar rādiusu 16 cm ir sektors ar laukumu 200 cm². Aprēķiniet sektora centrālo leņķi.
Diskusija:
Ir zināms:
– \(r = 16 \) cm
– \(L_juring = 200 \text{ cm}^2 \)
Mēs izmantojam sektora laukuma formulu, lai atrastu \( \theta \):
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \reiz \pi \reiz r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \reiz \pi \reiz (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \reiz \pi \reiz 256\]
\[200 = \frac{\theta \reiz 256 \pi}{360^\circ}\]
\[200 \reiz 360^\circ = \heta \reiz 256 \reiz 3.14\]
\[72000 = \theta \reiz 256 \reiz 3.14\]
\[72000 = \theta \reiz 804.64\]
[theta = \frac{72000}{804.64}]
\[\theta \aptuveni 89.45^\circ\]
Tātad sektora centrālais leņķis ir aptuveni 89.45°.
4. jautājums:
Aprēķiniet sektora kopējo apkārtmēru, kura rādiuss ir 12 cm un centrālais leņķis ir 120°.
Diskusija:
Ir zināms:
– \(r = 12 \) cm
– \( \heta = 120^\circ \)
Vispirms atrodam loka garumu:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \reiz 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \reiz 2\pi \reiz 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \reiz 2\pi \reiz 12\]
\[P_b = 8\pi\teksts{cm}\]
Tad mēs aprēķinām sektora apkārtmēru (loka garums + divi rādiusi):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 x 12 cm + 8 pi cm]
\[K = 24\cm + 8\pi\cm]
Ja \( \pi \) tiek pieņemts kā 3.14, tad:
\[K = 24\cm} + 8 \reiz 3.14\cm}\]
\[K = 24\cm} + 25.12\cm}\]
\[K = 49.12\teksts cm}\]
Tātad sektora kopējais apkārtmērs ir 49.12 cm.
5. jautājums:
Ja aplim ar rādiusu 18 cm ir sektors, kas veido 45° leņķi, nosakiet loka garumu un sektora laukumu.
Diskusija:
Ir zināms:
– \(r = 18 \) cm
– \( \heta = 45^\circ \)
1. Loka garums:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \reiz 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \reiz 2\pi \reiz 18\text{cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \reiz 36\pi\cm}\]
\[P_b = 4.5\pi\teksts{cm}\]
Ja \( \pi \) tiek pieņemts kā 3.14, tad:
\[P_b = 4.5 \reiz 3.14 \cm} \aptuveni 14.13 \cm}\]
Tātad, loka garums ir aptuveni 14.13 cm.
2. Nozares joma:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \reiz \pi \reiz r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \reizes \pi \reizes (18\text{cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \pi \reizes 324\text{cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ cm}^2\]
Ja \( \pi \) tiek pieņemts kā 3.14, tad:
\[L_juring = 40.5 \reiz 3.14\cm}^2 \aptuveni 127.17\cm}^2\]
Tātad sektora platība ir aptuveni 127.17 cm².
Secinājums
Šajā rakstā mēs esam apsprieduši vairākus piemērus problēmām saistībā ar apļa sektoriem un to risinājumiem. Apļa sektoru izpratnes būtība ir apgūt pamatformulas sektora laukuma un loka garuma aprēķināšanai. Regulāra prakse un izpratne par to, kā šīs formulas pielietot dažāda veida problēmām, cerams, palīdzēs uzlabot jūsu spēju risināt līdzīgas problēmas.
